関数$\displaystyle y=\frac{1}{x}$のグラフの$x>0$の部分を曲線$C$とする．実数$t$は$0<t<1$をみたすものとし，$C$上に点P$\displaystyle \left(t,\ \frac{1}{t} \right)$をとる．このとき，次の問(1)～(5)に答えよ．
(1) 曲線$C$上の点$\mathrm{A}(1,\ 1)$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2) 点$\mathrm{P}$を通り直線$\ell$と平行な直線を$m$とし，直線$m$と曲線$C$の共有点で点$\mathrm{P}$と異なる点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3) 原点を$\mathrm{O}$とし，$2$つの線分$\mathrm{OP}$，$\mathrm{OQ}$および曲線$C$で囲まれた部分の面積を$S$とする．面積$S$を$t$で表せ．
(4) 点$\mathrm{P}$を通り$y$軸に平行な直線，点$\mathrm{Q}$を通り$y$軸に平行な直線，曲線$C$，および$x$軸で囲まれた部分が，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を$V$とする．体積$V$を$t$で表せ．
(5) $\displaystyle \lim_{t \to 1-0} \frac{S}{V}$を求めよ．