立教大学
2016年 理学部（個別日程） 第2問
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$a,\ b$を実数，$t$を正の実数とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の$2$つの放物線
\[ C_1:y=-x^2,\quad C_2:y=x^2+ax+b \]
が，点$\mathrm{P}(t,\ -t^2)$において同じ接線$\ell$を持つとする．また，点$\mathrm{P}$における$C_1$の法線を$m$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1) $\ell$と$m$の方程式をそれぞれ$t$を用いて表せ．
(2) $a,\ b$をそれぞれ$t$を用いて表せ．
(3) $m$と$C_2$の軸および$C_2$で囲まれる図形の面積$S_1$を$t$を用いて表せ．
(4) $\ell$と$y$軸の交点を$\mathrm{Q}$とし，三角形$\mathrm{OPQ}$の面積を$S_2$とするとき，極限$\displaystyle \lim_{t \to \infty} \frac{S_1}{S_2}$の値を求めよ．
(1) $\ell$と$m$の方程式をそれぞれ$t$を用いて表せ．
(2) $a,\ b$をそれぞれ$t$を用いて表せ．
(3) $m$と$C_2$の軸および$C_2$で囲まれる図形の面積$S_1$を$t$を用いて表せ．
(4) $\ell$と$y$軸の交点を$\mathrm{Q}$とし，三角形$\mathrm{OPQ}$の面積を$S_2$とするとき，極限$\displaystyle \lim_{t \to \infty} \frac{S_1}{S_2}$の値を求めよ．
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