次の空欄$\fbox{ア}$～$\fbox{シ}$に当てはまる数または式を記入せよ．
(1) $2$つの自然数$m,\ n$で等式$m^2-n^2=15$を満たすのは， \[ (m,\ n)=(\fbox{ア},\ \fbox{イ}) \quad \text{と} \quad (m,\ n)=(\fbox{ウ},\ \fbox{エ}) \] である．
(2) 方程式$x^3-(3+a)x^2+(2+3a)x-2a=0$の異なる実数解が$2$個であるときの実数$a$の値をすべて挙げると$\fbox{オ}$である．
(3) $0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で$4 \cos \theta-\sin \theta=1$が成り立つとき，$\tan \theta$の値は$\fbox{カ}$である．
(4) 実数$x$に関する不等式$2^{2x}-2^{x+1}-48<0$を解くと$x<\fbox{キ}$である．
(5) $\sqrt{3},\ \sqrt[3]{5},\ \sqrt[4]{7},\ \sqrt[6]{19}$のうち，最小のものは$\fbox{ク}$である． 大中小の$3$個のさいころを同時に$1$回投げるとき，出た目の和が$7$になる場合の数は$\fbox{ケ}$通りある． 食品$\mathrm{X}$，$\mathrm{Y}$がある．食品$\mathrm{X}$は$100 \, \mathrm{g}$あたり$80$円で，栄養素$\mathrm{a}$を$4 \, \mathrm{mg}$，栄養素$\mathrm{b}$を$20 \, \mathrm{mg}$含む．食品$\mathrm{Y}$は$100 \, \mathrm{g}$あたり$60$円で，栄養素$\mathrm{a}$を$2 \, \mathrm{mg}$，栄養素$\mathrm{b}$を$60 \, \mathrm{mg}$含む．栄養素$\mathrm{a}$を$8 \, \mathrm{mg}$以上，栄養素$\mathrm{b}$を$80 \, \mathrm{mg}$以上になるように食品$\mathrm{X}$，$\mathrm{Y}$を混合するとき，費用を最小にするには食品$\mathrm{X}$を$\fbox{コ} \, \mathrm{g}$と食品$\mathrm{Y}$を$\fbox{サ} \, \mathrm{g}$混ぜればよい． $\displaystyle S=\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5}+\cdots +\frac{1}{6 \cdot 7 \cdot 8}$とするとき，$S$の値は$\fbox{シ}$である．