実数$p \neq -1$に対し，$2$つの直線$\ell,\ m$と放物線$C$を \[ \ell:y=-x+1,\quad m:y=px-p^3,\quad C:y=\frac{1}{4}x^2+qx+r \] とする．このとき，次の問に答えよ．
(1) 放物線$C$と直線$\ell$が点$\mathrm{A}$で接しているとき，$r$を$q$の$2$次式で表せ．また，点$\mathrm{A}$の$x$座標を$q$を用いて表せ．
(2) 放物線$C$と直線$\ell$が点$\mathrm{A}$で接し，さらに放物線$C$と直線$m$が点$\mathrm{B}$で接しているとき，$q$を$p$の$2$次式で表せ．また，点$\mathrm{B}$の$x$座標を$p$を用いて表せ．
(3) 放物線$C$と直線$\ell$が点$\mathrm{A}$で接し，さらに放物線$C$と直線$m$が点$\mathrm{B}$で接しているとき，放物線$C$の頂点の$y$座標が最大になるような$p$の値を求めよ．
(4) $(1)$，$(2)$，$(3)$で定められる$p,\ q,\ r$に対して，点$\mathrm{A}$を通り$y$軸と平行な直線，点$\mathrm{B}$を通り$y$軸と平行な直線，$x$軸，および放物線$C$で囲まれる部分の面積を求めよ．