立教大学
2014年 理学部（個別日程） 第3問
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数列$\{a_n\},\ \{b_n\},\ \{c_n\}$に対して，次の関係式が成り立っているものとする．
\[ \left( \begin{array}{cc}
a_{n+1} & 0 \\
b_{n+1} & c_{n+1}
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc}
2 & 0 \\
1 & 3
\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}
a_{n} & 0 \\
b_{n} & c_{n}
\end{array} \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，次の問に答えよ．
(1) $a_n,\ c_n$を$n,\ a_1,\ c_1$を用いて表せ．
(2) $b_{n+1}$を$n,\ a_1,\ b_n$を用いて表せ．
(3) $\displaystyle d_n=\frac{b_n}{3^n}$として数列$\{d_n\}$を定める．数列$\{d_n\}$が満たす漸化式を求めよ．
(4) $d_n$を$n,\ a_1,\ b_1$を用いて表せ．
(5) $n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，${\left( \begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{array} \right)}^n$を$n$を用いて表せ．
(1) $a_n,\ c_n$を$n,\ a_1,\ c_1$を用いて表せ．
(2) $b_{n+1}$を$n,\ a_1,\ b_n$を用いて表せ．
(3) $\displaystyle d_n=\frac{b_n}{3^n}$として数列$\{d_n\}$を定める．数列$\{d_n\}$が満たす漸化式を求めよ．
(4) $d_n$を$n,\ a_1,\ b_1$を用いて表せ．
(5) $n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，${\left( \begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{array} \right)}^n$を$n$を用いて表せ．
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