$k$を実数とし，座標平面上の$2$つの曲線 \[ C_1:y=k \cos x,\quad C_2:y=\sin 2x \] を考える．このとき，次の問に答えよ．
(1) $C_1,\ C_2$が$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$において共有点をもつとき，$k$の取りうる値の範囲を求めよ．
以下では$k$が$(1)$の条件を満たすものとし，$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$における$C_1$，$C_2$の共有点の$x$座標を$a$とおく．このとき，次の問に答えよ．
(2) $\sin a$を$k$を用いて表せ．
(3) 座標平面上の$0 \leqq x \leqq a$の部分において，$C_1$，$C_2$および$y$軸によって囲まれる図形の面積を$S_1$とする．$S_1$を$k$を用いて表せ．
(4) 座標平面上の$\displaystyle a \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の部分において，$C_1$，$C_2$によって囲まれる図形の面積を$S_2$とする．$S_2$を$k$を用いて表せ．
(5) $k$が$(1)$で求めた範囲を動くとき，$S_1+S_2$の最小値を求めよ．