次の空欄$\fbox{ア}$～$\fbox{コ}$に当てはまる数または式を記入せよ．
(1) $2$つの自然数$p,\ q$が$p^2+pq+q^2=19$を満たすとき，$p+q=\fbox{ア}$である．
(2) $0 \leqq \theta<2\pi$のとき，$\sin^2 \theta+\cos \theta-1$の最大値は$\fbox{イ}$であり，最小値は$\fbox{ウ}$である．
(3) $\displaystyle S=\frac{1}{1+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{9}}+\frac{1}{\sqrt{9}+\sqrt{13}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{45}+\sqrt{49}}$とすると，$S$の値は$\fbox{エ}$である．
(4) 方程式$\log_{\sqrt{2}}(2-x)+\log_2 (x+1)=1$の解をすべて求めると，$x=\fbox{オ}$である．
(5) 等式$\displaystyle f(x)=x^2+3 \int_0^1 f(t) \, dt$を満たす関数は，$f(x)=\fbox{カ}$である． 座標空間における$4$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 3)$，$\mathrm{D}(x,\ 4,\ 5)$が同一平面上にあるとき，$x=\fbox{キ}$である． $3$次方程式$x^3-x^2+ax+b=0$の解の$1$つが$1+i$のとき，$a=\fbox{ク}$，$b=\fbox{ケ}$である．ただし，$a,\ b$は実数とし，$i$は虚数単位とする． 三角形$\mathrm{ABC}$の辺の長さが$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{CA}=6$のとき，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$\fbox{コ}$である．