次の条件を満たす数列$\{a_n\}$を考える． \[ a_1=4,\quad a_{n+1}=\frac{1}{2} \{3+(-1)^n\}a_n-1 \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \] このとき，次の問に答えよ．
(1) 奇数番目の項のみからなる数列を$\{b_n\}$，偶数番目の項のみからなる数列を$\{c_n\}$とする．つまり，$b_n=a_{2n-1}$，$c_n=a_{2n}$とする．$b_{n+1}$，$c_n$，$b_n$が次の関係式を満たすとき，定数$A,\ B,\ C,\ D$の値をそれぞれ求めよ． \[ \begin{array}{r} b_{n+1}=Ac_n+B \\ \phantom{\frac{\fbox{}}{2}} c_n=Cb_n+D \end{array} \qquad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
(2) $(1)$において$c_n$を消去し，$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ．
(3) 数列$\{b_n\}$，$\{c_n\}$の一般項をそれぞれ$n$を用いて表せ．
(4) 数列$\{a_n\}$の第$1$項から第$2k$項までの和$S_{2k}$を$k$を用いて表せ．