$a,\ b$は$a \neq b$を満たす定数とする．座標平面上に放物線$C_1$が$y=x^2+ax+b$で与えられ，放物線$C_2$が$y=x^2+bx+a$で与えられている．$C_1$上の点$\mathrm{P}(0,\ b)$での$C_1$の接線は，$C_2$上の点$\mathrm{Q}$で$C_2$に接しているとする．このとき，次の問に答えよ．
(1) $a$と$b$の間に成り立つ関係式を求めよ．
(2) 点$\mathrm{Q}$の座標を$a$を用いて表せ．
(3) $C_1$と$C_2$の交点$\mathrm{R}$の座標を$a$を用いて表せ．
(4) 放物線$C_1$，$C_2$と線分$\mathrm{PQ}$で囲まれる図形の面積$A$を求めよ．
(5) 線分$\mathrm{PQ}$上に点$\mathrm{S}$を三角形$\mathrm{PRS}$の面積が$(4)$で求めた面積$A$と一致するようにとる．$\mathrm{S}$の$x$座標を求めよ．