青山学院大学
2016年 理工B方式 第2問
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![四角形ABCDが円に内接しており，4辺の長さがAB=2,BC=1,CD=DA=√6である．(1)∠BAD=θとおくと，∠BCD=π-θであることからBD=[10]\sqrt{[11]},cosθ=\frac{\sqrt{[12]}}{[13][14]}となる．さらに，ベクトルBAとベクトルBDの内積はベクトルBA・ベクトルBD=[15]である．(2)EをBEが直径となる円周上の点とすると，ベクトルBA・ベクトルBE=[16],ベクトルBD・ベクトルBE=[17]である．したがって，ベクトルBE=\frac{[18]}{[19][20]}ベクトルBA+\frac{[21][22]}{[23][24]}ベクトルBDである．](./thumb/189/2276/2016_2.png)
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四角形$\mathrm{ABCD}$が円に内接しており，$4$辺の長さが
\[ \mathrm{AB}=2,\quad \mathrm{BC}=1,\quad \mathrm{CD}=\mathrm{DA}=\sqrt{6} \]
である．
(1) $\angle \mathrm{BAD}=\theta$とおくと，$\angle \mathrm{BCD}=\pi-\theta$であることから \[ \mathrm{BD}=\fbox{$10$} \sqrt{\fbox{$11$}},\quad \cos \theta=\frac{\sqrt{\fbox{$12$}}}{\fbox{$13$}\fbox{$14$}} \] となる．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{BA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BD}}$の内積は$\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BD}}=\fbox{$15$}$である．
(2) $\mathrm{E}$を$\mathrm{BE}$が直径となる円周上の点とすると， \[ \overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BE}}=\fbox{$16$},\quad \overrightarrow{\mathrm{BD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BE}}=\fbox{$17$} \] である．したがって， \[ \overrightarrow{\mathrm{BE}}=\frac{\fbox{$18$}}{\fbox{$19$}\fbox{$20$}} \overrightarrow{\mathrm{BA}}+\frac{\fbox{$21$}\fbox{$22$}}{\fbox{$23$}\fbox{$24$}} \overrightarrow{\mathrm{BD}} \] である．
(1) $\angle \mathrm{BAD}=\theta$とおくと，$\angle \mathrm{BCD}=\pi-\theta$であることから \[ \mathrm{BD}=\fbox{$10$} \sqrt{\fbox{$11$}},\quad \cos \theta=\frac{\sqrt{\fbox{$12$}}}{\fbox{$13$}\fbox{$14$}} \] となる．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{BA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BD}}$の内積は$\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BD}}=\fbox{$15$}$である．
(2) $\mathrm{E}$を$\mathrm{BE}$が直径となる円周上の点とすると， \[ \overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BE}}=\fbox{$16$},\quad \overrightarrow{\mathrm{BD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BE}}=\fbox{$17$} \] である．したがって， \[ \overrightarrow{\mathrm{BE}}=\frac{\fbox{$18$}}{\fbox{$19$}\fbox{$20$}} \overrightarrow{\mathrm{BA}}+\frac{\fbox{$21$}\fbox{$22$}}{\fbox{$23$}\fbox{$24$}} \overrightarrow{\mathrm{BD}} \] である．
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