玉川大学
2014年 全学部 第2問
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![[ア]~[タ]を埋めよ.(1)sinx=\frac{√5-1}{2}のときsin5x+sin3xの値はsin5x+sin3x=[ア]sin[イ]xcosxを用いれば[ウエ]\sqrt{[オ]}-[カキ]である.(2)三角形ABCにおいて,辺ABをm:nに内分する点をP,辺ACをn:mに内分する点をQとする.ただし,m≠nかつmとnの最大公約数は1である.このときt=\frac{m}{m+n}とおくとベクトルPQ=-tベクトルAB+([ク]-t)ベクトルACである.いま,2直線PQ,BCの交点をRとして,点Qが線分PRの中点であるならばベクトルAR=-tベクトルAB+[ケ]([コ]-t)ベクトルACとなるからm:n=[サ]:[シ]である.(3)数字1,2,3,4,5を使って5桁の整数を作る.その中で,数字の並べ方を逆にしたものをもとの整数に加えると,どの桁の数字も偶数になるものは[スセ]個ある.(4)曲線y=x^2-xとx軸の囲む部分の面積は\frac{[ソ]}{[タ]}である.](./thumb/233/3172/2014_2.png)
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$\fbox{ア}$~$\fbox{タ}$を埋めよ.
(1) $\displaystyle \sin x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$のとき$\sin 5x+\sin 3x$の値は \[ \sin 5x+\sin 3x=\fbox{ア} \sin \fbox{イ}x \cos x \] を用いれば \[ \fbox{ウエ} \sqrt{\fbox{オ}}-\fbox{カキ} \] である.
(2) 三角形$\mathrm{ABC}$において,辺$\mathrm{AB}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{P}$,辺$\mathrm{AC}$を$n:m$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする.ただし,$m \neq n$かつ$m$と$n$の最大公約数は$1$である.このとき$\displaystyle t=\frac{m}{m+n}$とおくと \[ \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=-t \overrightarrow{\mathrm{AB}}+(\fbox{ク}-t) \overrightarrow{\mathrm{AC}} \] である.いま,$2$直線$\mathrm{PQ}$,$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{R}$として,点$\mathrm{Q}$が線分$\mathrm{PR}$の中点であるならば \[ \overrightarrow{\mathrm{AR}}=-t \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\fbox{ケ} (\fbox{コ}-t) \overrightarrow{\mathrm{AC}} \] となるから \[ m:n=\fbox{サ}:\fbox{シ} \] である.
(3) 数字$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$を使って$5$桁の整数を作る.その中で,数字の並べ方を逆にしたものをもとの整数に加えると,どの桁の数字も偶数になるものは \[ \fbox{スセ} \] 個ある.
(4) 曲線$y=x^2-x$と$x$軸の囲む部分の面積は$\displaystyle \frac{\fbox{ソ}}{\fbox{タ}}$である.
(1) $\displaystyle \sin x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$のとき$\sin 5x+\sin 3x$の値は \[ \sin 5x+\sin 3x=\fbox{ア} \sin \fbox{イ}x \cos x \] を用いれば \[ \fbox{ウエ} \sqrt{\fbox{オ}}-\fbox{カキ} \] である.
(2) 三角形$\mathrm{ABC}$において,辺$\mathrm{AB}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{P}$,辺$\mathrm{AC}$を$n:m$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする.ただし,$m \neq n$かつ$m$と$n$の最大公約数は$1$である.このとき$\displaystyle t=\frac{m}{m+n}$とおくと \[ \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=-t \overrightarrow{\mathrm{AB}}+(\fbox{ク}-t) \overrightarrow{\mathrm{AC}} \] である.いま,$2$直線$\mathrm{PQ}$,$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{R}$として,点$\mathrm{Q}$が線分$\mathrm{PR}$の中点であるならば \[ \overrightarrow{\mathrm{AR}}=-t \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\fbox{ケ} (\fbox{コ}-t) \overrightarrow{\mathrm{AC}} \] となるから \[ m:n=\fbox{サ}:\fbox{シ} \] である.
(3) 数字$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$を使って$5$桁の整数を作る.その中で,数字の並べ方を逆にしたものをもとの整数に加えると,どの桁の数字も偶数になるものは \[ \fbox{スセ} \] 個ある.
(4) 曲線$y=x^2-x$と$x$軸の囲む部分の面積は$\displaystyle \frac{\fbox{ソ}}{\fbox{タ}}$である.
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