九州工業大学
2016年 情報工学部 第2問
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原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を$C_1$とする.円$C_1$に外接しながら,半径$1$の円$C_2$がすべることなく回転する.円$C_2$の中心を$\mathrm{P}$とし,円$C_2$上の点$\mathrm{Q}$は最初,$x$軸上の点$\mathrm{A}(3,\ 0)$にあるものとする.半直線$\mathrm{PQ}$上で点$\mathrm{P}$からの距離が$2$の点を$\mathrm{R}$とし,$\mathrm{OP}$が$x$軸の正の向きとなす角を$\theta$とする.$C_2$が回転して$\theta$が$0$から$2\pi$まで変化するとき,点$\mathrm{R}$が描く曲線を$C$とする.曲線$C$の概形を図$1$に示す.以下の問いに答えよ.
\imgc{678_3147_2016_1}
(1) 点$\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ.
(2) 点$\mathrm{P}$を通り$x$軸と平行な直線を$\ell$とする.直線$\ell$と線分$\mathrm{PR}$のなす角$\alpha$を,$\theta$を用いて表せ.また,$\mathrm{R}$の座標を$\theta$を用いて表せ.
(3) 曲線$C$と$x$軸の共有点の座標をすべて求めよ.
(4) 曲線$C$と$y$軸の共有点の座標をすべて求めよ.
(5) 点$\mathrm{R}$の$x$座標が最小となるときの点$\mathrm{R}$の座標をすべて求めよ. 曲線$C$と$x$軸,$y$軸に囲まれた図$2$の斜線部分の面積を求めよ.
(1) 点$\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ.
(2) 点$\mathrm{P}$を通り$x$軸と平行な直線を$\ell$とする.直線$\ell$と線分$\mathrm{PR}$のなす角$\alpha$を,$\theta$を用いて表せ.また,$\mathrm{R}$の座標を$\theta$を用いて表せ.
(3) 曲線$C$と$x$軸の共有点の座標をすべて求めよ.
(4) 曲線$C$と$y$軸の共有点の座標をすべて求めよ.
(5) 点$\mathrm{R}$の$x$座標が最小となるときの点$\mathrm{R}$の座標をすべて求めよ. 曲線$C$と$x$軸,$y$軸に囲まれた図$2$の斜線部分の面積を求めよ.
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