北里大学
2013年 医学部 第1問
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次の$\fbox{}$にあてはまる答を記せ.ただし,$(5)$において,必要ならば$\log_{10}2=0.3010$を用いてよい.
(1) $\mathrm{OA}:\mathrm{OB}=1:3$である三角形$\mathrm{OAB}$において,辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$,線分$\mathrm{OM}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{N}$とし,$\angle \mathrm{AOB}$の大きさを$\theta$とする.
(ⅰ) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき,$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{NA}}$を表すと,$\overrightarrow{\mathrm{NA}}=\fbox{} \overrightarrow{a}-\fbox{} \overrightarrow{b}$である.
(ⅱ) $\overrightarrow{\mathrm{ON}}$と$\overrightarrow{\mathrm{NA}}$が垂直であるとき,$\cos \theta$の値は$\fbox{}$である.
(2) $(x+2y+3z)^6$の展開式における$x^4y^2$の係数は$\fbox{}$であり,$x^3y^2z$の係数は$\fbox{}$である.
(3) 点$(x,\ y)$が不等式$x^2+y^2 \leqq 4$の表す領域を動くとする.このとき,$3x+y$は,$x=\fbox{}$,$y=\fbox{}$において最大値$\fbox{}$をとり,$x=\fbox{}$,$y=\fbox{}$において最小値$\fbox{}$をとる.
(4) $\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$の$3$つの袋があり,$\mathrm{A}$には赤球$2$個と白球$2$個,$\mathrm{B}$には白球$1$個と青球$3$個,さらに,$\mathrm{C}$には赤球$2$個と白球$1$個と青球$1$個が入っている.いま,$\mathrm{A}$から$1$個の球を取り出し,$\mathrm{B}$から$1$個の球を取り出し,$\mathrm{C}$から$1$個の球を取り出す.
(ⅰ) 取り出した$3$個の球の色が$1$種類となる確率は$\fbox{}$である.
(ⅱ) 取り出した$3$個の球の色が$2$種類となる確率は$\fbox{}$である.
(ⅲ) 取り出した$3$個の球の色が$3$種類となる確率は$\fbox{}$である.
(5) 条件$a_1=5$,$a_{n+1}=2a_n-3$によって定まる数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=\fbox{}$で与えられる.この数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とおくとき,$S_8$の値は$\fbox{}$であり,不等式$\displaystyle \frac{S_n}{3}>n+16666$を満たす正の整数$n$のうちで最小のものは$\fbox{}$である.
(1) $\mathrm{OA}:\mathrm{OB}=1:3$である三角形$\mathrm{OAB}$において,辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$,線分$\mathrm{OM}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{N}$とし,$\angle \mathrm{AOB}$の大きさを$\theta$とする.
(ⅰ) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき,$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{NA}}$を表すと,$\overrightarrow{\mathrm{NA}}=\fbox{} \overrightarrow{a}-\fbox{} \overrightarrow{b}$である.
(ⅱ) $\overrightarrow{\mathrm{ON}}$と$\overrightarrow{\mathrm{NA}}$が垂直であるとき,$\cos \theta$の値は$\fbox{}$である.
(2) $(x+2y+3z)^6$の展開式における$x^4y^2$の係数は$\fbox{}$であり,$x^3y^2z$の係数は$\fbox{}$である.
(3) 点$(x,\ y)$が不等式$x^2+y^2 \leqq 4$の表す領域を動くとする.このとき,$3x+y$は,$x=\fbox{}$,$y=\fbox{}$において最大値$\fbox{}$をとり,$x=\fbox{}$,$y=\fbox{}$において最小値$\fbox{}$をとる.
(4) $\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$の$3$つの袋があり,$\mathrm{A}$には赤球$2$個と白球$2$個,$\mathrm{B}$には白球$1$個と青球$3$個,さらに,$\mathrm{C}$には赤球$2$個と白球$1$個と青球$1$個が入っている.いま,$\mathrm{A}$から$1$個の球を取り出し,$\mathrm{B}$から$1$個の球を取り出し,$\mathrm{C}$から$1$個の球を取り出す.
(ⅰ) 取り出した$3$個の球の色が$1$種類となる確率は$\fbox{}$である.
(ⅱ) 取り出した$3$個の球の色が$2$種類となる確率は$\fbox{}$である.
(ⅲ) 取り出した$3$個の球の色が$3$種類となる確率は$\fbox{}$である.
(5) 条件$a_1=5$,$a_{n+1}=2a_n-3$によって定まる数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=\fbox{}$で与えられる.この数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とおくとき,$S_8$の値は$\fbox{}$であり,不等式$\displaystyle \frac{S_n}{3}>n+16666$を満たす正の整数$n$のうちで最小のものは$\fbox{}$である.
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