鹿児島大学
2011年 医(医)・理(数理・物理・地環)・工・歯 第5問
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次の行列$A$を考える.
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
-2 & 2 \\
-2 & 0
\end{array} \right) \]
次の各問いに答えよ.
(1) $2 \times 2$行列$X$に対して,$E-X$が逆行列を持つとき \[ E+X+X^2+\cdots +X^n=(E-X^{n+1})(E-X)^{-1} \] が成立することを示せ.ただし,$E$は$2 \times 2$の単位行列である.
(2) $A^2$と$A^3$を計算せよ.さらに$A^{100}$と$A^{101}$を計算せよ.
(3) $E+A+A^2+\cdots +A^{100}$を計算せよ.
(1) $2 \times 2$行列$X$に対して,$E-X$が逆行列を持つとき \[ E+X+X^2+\cdots +X^n=(E-X^{n+1})(E-X)^{-1} \] が成立することを示せ.ただし,$E$は$2 \times 2$の単位行列である.
(2) $A^2$と$A^3$を計算せよ.さらに$A^{100}$と$A^{101}$を計算せよ.
(3) $E+A+A^2+\cdots +A^{100}$を計算せよ.
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