佐賀大学
2010年 理工学部 第2問
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座標平面上で,直線$\ell:y=mx$に関する対称移動によって,点P$(x,\ y)$が点Q$(x^\prime,\ y^\prime)$に移ったとする.ただし,$m$は0でない定数とし,点Pは$\ell$上にないとする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 線分PQの中点が$\ell$上にあることと,線分PQが$\ell$と垂直に交わっていることを利用して \[ \left( \begin{array}{c} x^\prime \\ y^\prime \end{array} \right)=\frac{1}{1+m^2} \left( \begin{array}{cc} 1-m^2 & 2m \\ 2m & m^2-1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \] が成り立つことを示せ.
(2) 直線$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{3}}x,\ y=-\frac{1}{\sqrt{3}}x$に関する対称移動を表す1次変換をそれぞれ$f,\ g$とする.このとき,合成変換$g \circ f$および$f \circ g$を表す行列を求めよ.
(3) (2)で求めた2つの行列は,原点Oを中心とし,角$\theta$だけ回転する1次変換を表す行列である.それぞれの$\theta$を求めよ.
(1) 線分PQの中点が$\ell$上にあることと,線分PQが$\ell$と垂直に交わっていることを利用して \[ \left( \begin{array}{c} x^\prime \\ y^\prime \end{array} \right)=\frac{1}{1+m^2} \left( \begin{array}{cc} 1-m^2 & 2m \\ 2m & m^2-1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \] が成り立つことを示せ.
(2) 直線$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{3}}x,\ y=-\frac{1}{\sqrt{3}}x$に関する対称移動を表す1次変換をそれぞれ$f,\ g$とする.このとき,合成変換$g \circ f$および$f \circ g$を表す行列を求めよ.
(3) (2)で求めた2つの行列は,原点Oを中心とし,角$\theta$だけ回転する1次変換を表す行列である.それぞれの$\theta$を求めよ.
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