同志社大学
2014年 理系全学部日程 第1問
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次の$\fbox{}$に適する数または式を記入せよ.
袋の中に$1$から$9$までの数字が$1$つずつ書かれた$9$個の球が入っている.この袋から球を$1$個取り出し,取り出した球の数字を調べて袋に戻すことを$2$回行うとき,取り出した球に書かれた数字のうちの最大値を$X$とする.$X$が$3$以下となる場合の数は$\fbox{ア}$通りである.また,$X$が$4$以下となる場合の数は$\fbox{イ}$通りである.$X$が$3$となる場合の数は$\fbox{ウ}$通りであるので,$X$が$3$と等しくなる確率は$\fbox{エ}$である.したがって,$i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ 9$に対して,$X$が$i$と等しくなる確率は$\fbox{オ}$であり,$X$の期待値は$\fbox{カ}$である.
次に,この袋から球を$1$個取り出し,取り出した球の数字を調べて袋に戻すことを$k$回行うとき($k$は自然数),取り出した球に書かれた数字のうちの最大値を$Y$とする.$Y$が$j \ \ (j=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ 9)$以下となる場合の数は$\fbox{キ}$通りであり,$Y$が$j$と等しくなる場合の数は$\fbox{ク}$通りである.したがって,$Y$が$j$と等しくなる確率は$\fbox{ケ}$であり,$Y$の期待値は$\displaystyle 9-\frac{1}{9^k} \sum_{j=1}^8 \fbox{コ}$である.
袋の中に$1$から$9$までの数字が$1$つずつ書かれた$9$個の球が入っている.この袋から球を$1$個取り出し,取り出した球の数字を調べて袋に戻すことを$2$回行うとき,取り出した球に書かれた数字のうちの最大値を$X$とする.$X$が$3$以下となる場合の数は$\fbox{ア}$通りである.また,$X$が$4$以下となる場合の数は$\fbox{イ}$通りである.$X$が$3$となる場合の数は$\fbox{ウ}$通りであるので,$X$が$3$と等しくなる確率は$\fbox{エ}$である.したがって,$i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ 9$に対して,$X$が$i$と等しくなる確率は$\fbox{オ}$であり,$X$の期待値は$\fbox{カ}$である.
次に,この袋から球を$1$個取り出し,取り出した球の数字を調べて袋に戻すことを$k$回行うとき($k$は自然数),取り出した球に書かれた数字のうちの最大値を$Y$とする.$Y$が$j \ \ (j=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ 9)$以下となる場合の数は$\fbox{キ}$通りであり,$Y$が$j$と等しくなる場合の数は$\fbox{ク}$通りである.したがって,$Y$が$j$と等しくなる確率は$\fbox{ケ}$であり,$Y$の期待値は$\displaystyle 9-\frac{1}{9^k} \sum_{j=1}^8 \fbox{コ}$である.
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