宮崎大学
2015年 教育文化(理系) 第3問
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![四面体OABCの3辺OA,AB,BC上に,それぞれ点P,Q,Rがある.OP=PA,AQ=2QBとし,点Rは点Bとは異なるものとする.△PQRの重心をHとするとき,次の各問に答えよ.ただし,ベクトルa=ベクトルOA,ベクトルb=ベクトルOB,ベクトルc=ベクトルOCとする.(1)ベクトルOHを,ベクトルa,ベクトルb,ベクトルORを用いて表せ.(2)△ABCの重心をGとする.3点O,G,Hが同一直線上にあるとき,ベクトルORをベクトルb,ベクトルcを用いて表せ.](./thumb/735/3040/2015_3.png)
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四面体$\mathrm{OABC}$の$3$辺$\mathrm{OA}$,$\mathrm{AB}$,$\mathrm{BC}$上に,それぞれ点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$がある.$\mathrm{OP}=\mathrm{PA}$,$\mathrm{AQ}=2 \mathrm{QB}$とし,点$\mathrm{R}$は点$\mathrm{B}$とは異なるものとする.$\triangle \mathrm{PQR}$の重心を$\mathrm{H}$とするとき,次の各問に答えよ.ただし,$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$,$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とする.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を,$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を用いて表せ.
(2) $\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする.$3$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{G}$,$\mathrm{H}$が同一直線上にあるとき,$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を,$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を用いて表せ.
(2) $\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする.$3$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{G}$,$\mathrm{H}$が同一直線上にあるとき,$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$を用いて表せ.
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