次の問いに答えなさい．
点$\mathrm{O}$を原点とする$xy$座標平面上に点$\mathrm{A}(2,\ 4)$と点$\mathrm{B}(5,\ 2)$，および直線$\ell$がある．
(1) $\ell$の方程式は$\displaystyle y=\frac{1}{2}(-x+1)$である．
(ⅰ) 点$\mathrm{P}$が$\ell$上の点であるとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$の値を求めよ．
(ⅱ) $\ell$上の$\mathrm{P}$に対し，$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^2$のとり得る最小の値を求めよ．
(2) $a$を$1$以上の定数とする．$xy$座標平面上の点$\mathrm{Q}$が，線分$\mathrm{AQ}$の中点$\mathrm{M}$を用いて， \[ a|\overrightarrow{\mathrm{AQ}}|^2=4|\overrightarrow{\mathrm{OM}}|^2+4|\overrightarrow{\mathrm{BM}}|^2 \] を満たしながら動くとき，その$\mathrm{Q}$の軌跡を$C$とする．
(ⅰ) $C$が直線となるときの$a$の値を求めよ．
(ⅱ) $a=1$のとき，$C$上の$\mathrm{Q}$に対し，$|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|^2$のとり得る最小の値を求めよ．