次の問いに答えなさい．
(1) 「自然数$m$を$4$で割ったときの余りが$r$であるならば，$m(m+1)$を$4$で割ったときの余りは$r(3-r)$と等しい」ことを$r=0,\ 1,\ 2,\ 3$のそれぞれの場合について$\fbox{う}$で示しなさい．ただし，自然数$m$が整数$q,\ r$を用いて \[ m=4q+r \quad (0 \leqq r<4) \] と表されるとき，$r$を，$m$を$4$で割ったときの余りという．
(2) $n$を自然数とする．数列$\{a_n\}$は，初項$a_1$が$2$，公差が$2$の等差数列であり，数列$\{b_n\}$は次の条件 \[ b_1=1,\quad b_{n+1}-b_n=\frac{a_{n+1}}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] で定められている．
(ⅰ) 一般項$a_n,\ b_n$は，$n$を用いて表すとそれぞれ$a_n=\fbox{$\mathrm{I}$}$，$b_n=\fbox{$\mathrm{J}$}$である．
(ⅱ) $2$つの集合$A,\ B$を \[ A=\{a_n \;|\; n \text{は}39 \text{以下の自然数} \},\quad B=\{b_n \;|\; n \text{は}12 \text{以下の自然数} \} \] とする．このとき，$A$と$B$の共通部分$A \cap B$の要素の個数を$s$とすると，$s=\fbox{$\mathrm{K}$}$である．
(ⅲ) $t$を自然数の定数とする．$2$つの集合$C,\ D$を \[ C=\{a_n \;|\; n \text{は} 100 \text{以下の自然数}\},\quad D=\{b_n \;|\; n \text{は} t \text{以下の自然数}\} \] とする．このとき，$C$と$D$の和集合$C \cup D$の要素の個数が$111$であるならば，$t$の値は$t=\fbox{$\mathrm{L}$}$である．