東京理科大学
2012年 理工(情報科・工業化・機械工・土木工) 第2問
2
![rを0<r<1を満たす実数として,次のように行列とベクトルを定める.A=(\begin{array}{cc}r&0\2r-1&1-r\end{array}),P=(\begin{array}{c}1\1\end{array}),Q=(\begin{array}{c}0\1\end{array})またベクトルQ_n=(\begin{array}{c}a_n\b_n\end{array})(n=1,2,3,・・・)をQ_1=(\begin{array}{c}a_1\b_1\end{array})=Q,Q_n=AQ_{n-1}+P(n≧2)として定める.(1)AP=αP,AQ=βQを満たす定数α,βを求めよ.(2)A^nP,A^nQを求めよ.(3)Q_n=(\begin{array}{c}a_n\b_n\end{array})を求めよ.(4)座標平面において,各n=1,2,3,・・・に対し座標が(a_n,0)である点をX_n,座標が(a_n,b_n-a_n)である点をY_nとする.さらに,台形X_nX_{n+1}Y_{n+1}Y_nの面積をS_n(n=1,2,3,・・・)とし,S=Σ_{n=1}^∞S_n=S_1+S_2+・・・+S_n+・・・とする.(i)Sを求めよ.(ii)rが0<r<1の範囲を動くとき,Sの最大値とそのときのrの値を求めよ.](./thumb/269/265/2012_2.png)
2
$r$を$0<r<1$を満たす実数として,次のように行列とベクトルを定める.
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
r & 0 \\
2r-1 & 1-r
\end{array} \right) ,\quad P=\left( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \right),\quad Q=\left( \begin{array}{c}
0 \\
1
\end{array} \right) \]
またベクトル$Q_n=\left( \begin{array}{c}
a_n \\
b_n
\end{array} \right) \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を
\[ Q_1=\left( \begin{array}{c}
a_1 \\
b_1
\end{array} \right)=Q,\quad Q_n=AQ_{n-1}+P \quad (n \geqq 2) \]
として定める.
(1) $AP=\alpha P$,$AQ=\beta Q$を満たす定数$\alpha$,$\beta$を求めよ.
(2) $A^nP,\ A^nQ$を求めよ.
(3) $Q_n=\left( \begin{array}{c} a_n \\ b_n \end{array} \right)$を求めよ.
(4) 座標平面において,各$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し座標が$(a_n,\ 0)$である点を$X_n$,座標が$(a_n,\ b_n-a_n)$である点を$Y_n$とする.さらに,台形$X_nX_{n+1}Y_{n+1}Y_n$の面積を$S_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とし, \[ S=\sum_{n=1}^\infty S_n=S_1+S_2+\cdots +S_n+ \cdots \] とする.
(ⅰ) $S$を求めよ.
(ⅱ) $r$が$0<r<1$の範囲を動くとき,$S$の最大値とそのときの$r$の値を求めよ.
(1) $AP=\alpha P$,$AQ=\beta Q$を満たす定数$\alpha$,$\beta$を求めよ.
(2) $A^nP,\ A^nQ$を求めよ.
(3) $Q_n=\left( \begin{array}{c} a_n \\ b_n \end{array} \right)$を求めよ.
(4) 座標平面において,各$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し座標が$(a_n,\ 0)$である点を$X_n$,座標が$(a_n,\ b_n-a_n)$である点を$Y_n$とする.さらに,台形$X_nX_{n+1}Y_{n+1}Y_n$の面積を$S_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とし, \[ S=\sum_{n=1}^\infty S_n=S_1+S_2+\cdots +S_n+ \cdots \] とする.
(ⅰ) $S$を求めよ.
(ⅱ) $r$が$0<r<1$の範囲を動くとき,$S$の最大値とそのときの$r$の値を求めよ.
類題(関連度順)
![](./thumb/186/2349/2011_2s.png)
![](./thumb/3/2148/2014_1s.png)
![](./thumb/304/14/2010_2s.png)
![](./thumb/294/800/2012_3s.png)
![](./thumb/79/2310/2012_1s.png)
コメント(0件)
現在この問題に関するコメントはありません。
書き込むにはログインが必要です。