滋賀医科大学
2016年 医学部 第2問
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![分母が奇数,分子が整数の分数で表せる有理数を「控えめな有理数」と呼ぶことにする.例えば-1/3,2はそれぞれ-1/3,2/1と表せるから,ともに控えめな有理数である.1個以上の有限個の控えめな有理数a_1,・・・,a_nに対して,集合S\langlea_1,・・・,a_n\rangleを,S\langlea_1,・・・,a_n\rangle={x_1a_1+・・・+x_na_n\;|\;x_1,・・・,x_n は控えめな有理数 }と定める.例えば1は1・(-1/3)+2/3・2と表せるから,S\langle-1/3,2\rangleの要素である.(1)控えめな有理数a_1,・・・,a_nが定める集合S\langlea_1,・・・,a_n\rangleの要素は控えめな有理数であることを示せ.(2)0でない控えめな有理数aが与えられたとき,S\langlea\rangle=S\langle2^t\rangleとなる0以上の整数tが存在することを示せ.(3)控えめな有理数a_1,・・・,a_nが与えられたとき,S\langlea_1,・・・,a_n\rangle=S\langleb\rangleとなる控えめな有理数bが存在することを示せ.(4)2016が属する集合S\langlea_1,・・・,a_n\rangleはいくつあるか.ただしa_1,・・・,a_nは控えめな有理数であるとし,a_1,・・・,a_nとb_1,・・・,b_mが異なっていても,S\langlea_1,・・・,a_n\rangle=S\langleb_1,・・・,b_m\rangleであれば,S\langlea_1,・・・,a_n\rangleとS\langleb_1,・・・,b_m\rangleは一つの集合として数える.](./thumb/465/1258/2016_2.png)
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分母が奇数,分子が整数の分数で表せる有理数を「控えめな有理数」と呼ぶことにする.例えば$\displaystyle -\frac{1}{3}$,$2$はそれぞれ$\displaystyle \frac{-1}{3},\ \frac{2}{1}$と表せるから,ともに控えめな有理数である.$1$個以上の有限個の控えめな有理数$a_1,\ \cdots,\ a_n$に対して,集合$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle$を,
\[ S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle=\{x_1a_1+\cdots+x_na_n \;|\; x_1,\ \cdots,\ x_n \ \text{は控えめな有理数} \} \]
と定める.例えば$1$は$\displaystyle 1 \cdot \left( -\frac{1}{3} \right) +\frac{2}{3} \cdot 2$と表せるから,$\displaystyle S \langle -\frac{1}{3},\ 2 \rangle$の要素である.
(1) 控えめな有理数$a_1,\ \cdots,\ a_n$が定める集合$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle$の要素は控えめな有理数であることを示せ.
(2) $0$でない控えめな有理数$a$が与えられたとき,$S \langle a \rangle=S \langle 2^t \rangle$となる$0$以上の整数$t$が存在することを示せ.
(3) 控えめな有理数$a_1,\ \cdots,\ a_n$が与えられたとき,$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle=S \langle b \rangle$となる控えめな有理数$b$が存在することを示せ.
(4) $2016$が属する集合$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle$はいくつあるか.ただし$a_1,\ \cdots,\ a_n$は控えめな有理数であるとし,$a_1,\ \cdots,\ a_n$と$b_1,\ \cdots,\ b_m$が異なっていても,$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle=S \langle b_1,\ \cdots,\ b_m \rangle$であれば,$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle$と$S \langle b_1,\ \cdots,\ b_m \rangle$は一つの集合として数える.
(1) 控えめな有理数$a_1,\ \cdots,\ a_n$が定める集合$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle$の要素は控えめな有理数であることを示せ.
(2) $0$でない控えめな有理数$a$が与えられたとき,$S \langle a \rangle=S \langle 2^t \rangle$となる$0$以上の整数$t$が存在することを示せ.
(3) 控えめな有理数$a_1,\ \cdots,\ a_n$が与えられたとき,$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle=S \langle b \rangle$となる控えめな有理数$b$が存在することを示せ.
(4) $2016$が属する集合$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle$はいくつあるか.ただし$a_1,\ \cdots,\ a_n$は控えめな有理数であるとし,$a_1,\ \cdots,\ a_n$と$b_1,\ \cdots,\ b_m$が異なっていても,$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle=S \langle b_1,\ \cdots,\ b_m \rangle$であれば,$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle$と$S \langle b_1,\ \cdots,\ b_m \rangle$は一つの集合として数える.
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