滋賀医科大学
2013年 医学部 第3問
3
![実数aに対し,行列X(a)をX(a)=\frac{1}{a^2+1}(\begin{array}{cc}2a^2+1&-a\-a&a^2+2\end{array})と定める.(1)ベクトル(\begin{array}{c}x_0\y_0\end{array})を考える.ベクトル(\begin{array}{c}x_0\y_0\end{array}),X(a)(\begin{array}{c}x_0\y_0\end{array})の大きさをそれぞれl_0,l_1とおく.このときl_0≦l_1を示せ.ただしベクトル(\begin{array}{c}x\y\end{array})の大きさとは\sqrt{x^2+y^2}のことである.(2)(1)でl_0=l_1となるとき,X(a)(\begin{array}{c}x_0\y_0\end{array})=(\begin{array}{c}x_0\y_0\end{array})を示せ.(3)a,bが異なる実数のとき,{X(a)}^m={X(b)}^nとなるような正の整数m,nは存在しないことを示せ.](./thumb/465/1258/2013_3.png)
3
実数$a$に対し,行列$X(a)$を
\[ X(a)=\frac{1}{a^2+1} \left( \begin{array}{cc}
2a^2+1 & -a \\
-a & a^2+2
\end{array} \right) \]
と定める.
(1) ベクトル$\left( \begin{array}{c} x_0 \\ y_0 \end{array} \right)$を考える.ベクトル$\left( \begin{array}{c} x_0 \\ y_0 \end{array} \right)$,$X(a) \left( \begin{array}{c} x_0 \\ y_0 \end{array} \right)$の大きさをそれぞれ$l_0,\ l_1$とおく.このとき \[ l_0 \leqq l_1 \] を示せ.ただしベクトル$\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$の大きさとは$\sqrt{x^2+y^2}$のことである.
(2) (1)で$l_0=l_1$となるとき,$X(a) \left( \begin{array}{c} x_0 \\ y_0 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} x_0 \\ y_0 \end{array} \right)$を示せ.
(3) $a,\ b$が異なる実数のとき,${X(a)}^m={X(b)}^n$となるような正の整数$m,\ n$は存在しないことを示せ.
(1) ベクトル$\left( \begin{array}{c} x_0 \\ y_0 \end{array} \right)$を考える.ベクトル$\left( \begin{array}{c} x_0 \\ y_0 \end{array} \right)$,$X(a) \left( \begin{array}{c} x_0 \\ y_0 \end{array} \right)$の大きさをそれぞれ$l_0,\ l_1$とおく.このとき \[ l_0 \leqq l_1 \] を示せ.ただしベクトル$\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$の大きさとは$\sqrt{x^2+y^2}$のことである.
(2) (1)で$l_0=l_1$となるとき,$X(a) \left( \begin{array}{c} x_0 \\ y_0 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} x_0 \\ y_0 \end{array} \right)$を示せ.
(3) $a,\ b$が異なる実数のとき,${X(a)}^m={X(b)}^n$となるような正の整数$m,\ n$は存在しないことを示せ.
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