佐賀大学
2010年 文化教育学部 第2問
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![以下の問いに答えよ.(1)nとrを自然数とする.\mon[(i)]n≧2,r≦n-1のとき,{}_n C _r={}_{n-1} C _{r-1}+{}_{n-1} C _rを示せ.\mon[(ii)]n≧3,r≦n-2のとき,{}_n C _r={}_{n-1} C _{r-1}+{}_{n-2} C _{r-1}+{}_{n-2} C _rを示せ.\mon[(iii)]n≧2,r≦n-1のとき,{}_n C _{r}=Σ_{k=1}^{n-r}{}_{n-k} C _{r-1}+{}_r C _rを示せ.(2)「あるアイスクリーム店で,6種類のアイスクリームから通常料金の半額で3種類のアイスクリームを選べるという,格安3点セールを実施している.異なる3種類の組合せは何通りあるか答えよ.」という問題に対して,以下のような答案があった.これを詳しく解説せよ.\\(答案)\\まず4+3+2+1=10である.\\次に3+2+1=6となる.\\さらに2+1=3である.\\最後に1がある.\\よって10+6+3+1=20なので求める組合せは20通りである.](./thumb/711/2920/2010_2.png)
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以下の問いに答えよ.
(1) $n$と$r$を自然数とする.
[(i)] $n \geqq 2,\ r \leqq n-1$のとき,${}_n \text{C}_r={}_{n-1} \text{C}_{r-1}+ {}_{n-1} \text{C}_r$を示せ. [(ii)] $n \geqq 3,\ r \leqq n-2$のとき,${}_n \text{C}_r={}_{n-1} \text{C}_{r-1}+ {}_{n-2} \text{C}_{r-1}+{}_{n-2} \text{C}_r$を示せ. [(iii)] $n \geqq 2,\ r \leqq n-1$のとき,$\displaystyle {}_n \text{C}_{r} = \sum_{k=1}^{n-r} {}_{n-k} \text{C}_{r-1}+{}_r \text{C}_r$を示せ.
(2) 「あるアイスクリーム店で,6種類のアイスクリームから通常料金の半額で3種類のアイスクリームを選べるという,格安3点セールを実施している.異なる3種類の組合せは何通りあるか答えよ.」という問題に対して,以下のような答案があった.これを詳しく解説せよ.\\ (答案)\\ まず$4+3+2+1=10$である.\\ 次に$3+2+1=6$となる.\\ さらに$2+1=3$である.\\ 最後に1がある.\\ よって$10+6+3+1=20$なので求める組合せは20通りである.
(1) $n$と$r$を自然数とする.
[(i)] $n \geqq 2,\ r \leqq n-1$のとき,${}_n \text{C}_r={}_{n-1} \text{C}_{r-1}+ {}_{n-1} \text{C}_r$を示せ. [(ii)] $n \geqq 3,\ r \leqq n-2$のとき,${}_n \text{C}_r={}_{n-1} \text{C}_{r-1}+ {}_{n-2} \text{C}_{r-1}+{}_{n-2} \text{C}_r$を示せ. [(iii)] $n \geqq 2,\ r \leqq n-1$のとき,$\displaystyle {}_n \text{C}_{r} = \sum_{k=1}^{n-r} {}_{n-k} \text{C}_{r-1}+{}_r \text{C}_r$を示せ.
(2) 「あるアイスクリーム店で,6種類のアイスクリームから通常料金の半額で3種類のアイスクリームを選べるという,格安3点セールを実施している.異なる3種類の組合せは何通りあるか答えよ.」という問題に対して,以下のような答案があった.これを詳しく解説せよ.\\ (答案)\\ まず$4+3+2+1=10$である.\\ 次に$3+2+1=6$となる.\\ さらに$2+1=3$である.\\ 最後に1がある.\\ よって$10+6+3+1=20$なので求める組合せは20通りである.
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