九州工業大学
2015年 工学部 第1問
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![四面体OABCにおいて,三角形ABCは1辺の長さが1の正三角形であり,OA=OB=OC=2とする.また,点Cを通り平面OABに垂直な直線上に点Dがあり,線分CDの中点Hは平面OABに含まれるとする.すなわち,点Dは平面OABに関して,点Cと対称な点である.(プレビューでは図は省略します)ベクトルOA=ベクトルa,ベクトルOB=ベクトルb,ベクトルOC=ベクトルcとおいて,次に答えよ.(1)内積ベクトルa・ベクトルbおよびベクトルBC・ベクトルaを求めよ.(2)ベクトルOHをベクトルa,ベクトルbで表せ.また,ベクトルODをベクトルa,ベクトルb,ベクトルcで表せ.(3)直線BHと直線OAの交点をPとする.ベクトルBPをベクトルa,ベクトルbで表し,ベクトルBP・ベクトルaを求めよ.さらに,OPおよびBPの長さを求めよ.(4)(3)で定めた点Pに対して,四角形BCPDの面積Sを求めよ.また,四角錐O-BCPDの体積Vを求めよ.](./thumb/678/3144/2015_1.png)
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四面体$\mathrm{OABC}$において,三角形$\mathrm{ABC}$は$1$辺の長さが$1$の正三角形であり,$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=2$とする.また,点$\mathrm{C}$を通り平面$\mathrm{OAB}$に垂直な直線上に点$\mathrm{D}$があり,線分$\mathrm{CD}$の中点$\mathrm{H}$は平面$\mathrm{OAB}$に含まれるとする.すなわち,点$\mathrm{D}$は平面$\mathrm{OAB}$に関して,点$\mathrm{C}$と対称な点である.
\imgc{678_3144_2015_1}
$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおいて,次に答えよ.
(1) 内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$および$\overrightarrow{\mathrm{BC}} \cdot \overrightarrow{a}$を求めよ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ.また,$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$で表せ.
(3) 直線$\mathrm{BH}$と直線$\mathrm{OA}$の交点を$\mathrm{P}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表し,$\overrightarrow{\mathrm{BP}} \cdot \overrightarrow{a}$を求めよ.さらに,$\mathrm{OP}$および$\mathrm{BP}$の長さを求めよ.
(4) $(3)$で定めた点$\mathrm{P}$に対して,四角形$\mathrm{BCPD}$の面積$S$を求めよ.また,四角錐$\mathrm{O}$-$\mathrm{BCPD}$の体積$V$を求めよ.
(1) 内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$および$\overrightarrow{\mathrm{BC}} \cdot \overrightarrow{a}$を求めよ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ.また,$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$で表せ.
(3) 直線$\mathrm{BH}$と直線$\mathrm{OA}$の交点を$\mathrm{P}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表し,$\overrightarrow{\mathrm{BP}} \cdot \overrightarrow{a}$を求めよ.さらに,$\mathrm{OP}$および$\mathrm{BP}$の長さを求めよ.
(4) $(3)$で定めた点$\mathrm{P}$に対して,四角形$\mathrm{BCPD}$の面積$S$を求めよ.また,四角錐$\mathrm{O}$-$\mathrm{BCPD}$の体積$V$を求めよ.
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