高知工科大学
2010年 文系 第3問
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![座標平面において,曲線y=e^xをCとし,点(1,0)をP_1,点P_1を通りx軸に垂直な直線とCとの交点をQ_1とする.点Q_1におけるCの接線とx軸との交点をP_2,点P_2を通りx軸に垂直な直線とCとの交点をQ_2とする.さらに,点Q_2におけるCの接線とx軸との交点をP_3,点P_3を通りx軸に垂直な直線とCとの交点をQ_3とする.以下同様の操作を繰り返し,x軸上の点列P_1,P_2,P_3,・・・と曲線C上の点列Q_1,Q_2,Q_3,・・・を定める.また,各自然数nについて,曲線Cと2つの線分Q_nP_{n+1},P_{n+1}Q_{n+1}で囲まれた図形の面積をS_nとして,数列S_1,S_2,・・・,S_n,・・・を定める.次の各問に答えよ.(1)S_1を求めよ.(2)点P_nの座標を求めよ.(3)無限級数S_1+S_2+・・・+S_n+・・・の和を求めよ.](./thumb/676/221/2010_3.png)
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座標平面において,曲線$y=e^x$を$C$とし,点$(1,\ 0)$を$\mathrm{P}_1$,点$\mathrm{P}_1$を通り$x$軸に垂直な直線と$C$との交点を$\mathrm{Q}_1$とする.
点$\mathrm{Q}_1$における$C$の接線と$x$軸との交点を$\mathrm{P}_2$,点$\mathrm{P}_2$を通り$x$軸に垂直な直線と$C$との交点を$\mathrm{Q}_2$とする.さらに,点$\mathrm{Q}_2$における$C$の接線と$x$軸との交点を$\mathrm{P}_3$,点$\mathrm{P}_3$を通り$x$軸に垂直な直線と$C$との交点を$\mathrm{Q}_3$とする.
以下同様の操作を繰り返し,$x$軸上の点列$\mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \mathrm{P}_3,\ \cdots$と曲線$C$上の点列$\mathrm{Q}_1,\ \mathrm{Q}_2,\ \mathrm{Q}_3,\ \cdots$を定める.
また,各自然数$n$について,曲線$C$と$2$つの線分$\mathrm{Q}_n \mathrm{P}_{n+1}$,$\mathrm{P}_{n+1} \mathrm{Q}_{n+1}$で囲まれた図形の面積を$S_n$として,数列 \[ S_1,\ S_2,\ \cdots,\ S_n,\ \cdots \] を定める.次の各問に答えよ.
(1) $S_1$を求めよ.
(2) 点$\mathrm{P}_n$の座標を求めよ.
(3) 無限級数 \[ S_1+S_2+\cdots +S_n+\cdots \] の和を求めよ.
点$\mathrm{Q}_1$における$C$の接線と$x$軸との交点を$\mathrm{P}_2$,点$\mathrm{P}_2$を通り$x$軸に垂直な直線と$C$との交点を$\mathrm{Q}_2$とする.さらに,点$\mathrm{Q}_2$における$C$の接線と$x$軸との交点を$\mathrm{P}_3$,点$\mathrm{P}_3$を通り$x$軸に垂直な直線と$C$との交点を$\mathrm{Q}_3$とする.
以下同様の操作を繰り返し,$x$軸上の点列$\mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \mathrm{P}_3,\ \cdots$と曲線$C$上の点列$\mathrm{Q}_1,\ \mathrm{Q}_2,\ \mathrm{Q}_3,\ \cdots$を定める.
また,各自然数$n$について,曲線$C$と$2$つの線分$\mathrm{Q}_n \mathrm{P}_{n+1}$,$\mathrm{P}_{n+1} \mathrm{Q}_{n+1}$で囲まれた図形の面積を$S_n$として,数列 \[ S_1,\ S_2,\ \cdots,\ S_n,\ \cdots \] を定める.次の各問に答えよ.
(1) $S_1$を求めよ.
(2) 点$\mathrm{P}_n$の座標を求めよ.
(3) 無限級数 \[ S_1+S_2+\cdots +S_n+\cdots \] の和を求めよ.
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