慶應義塾大学
2016年 経済学部 第5問
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$1$辺の長さが$\sqrt{2}$の正方形$\mathrm{ABCD}$を底面とし,$4$つの正三角形を側面とする正四角錐$\mathrm{O}$-$\mathrm{ABCD}$がある.$\mathrm{OA}$と$\mathrm{OC}$を$4:1$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{P}$と$\mathrm{R}$,正の実数$r$に対して$\mathrm{OB}$を$1:r$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする.
(1) 内積$\overrightarrow{\mathrm{PQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{QR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PR}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を計算せよ.答が$r$の有理式になる場合は,$1$つの既約分数式で解答せよ.
(2) 線分$\mathrm{PR}$の中点を$\mathrm{M}$とする.$\mathrm{QM}$と$\mathrm{OD}$が平行になる$r$を求めよ.
(3) $\mathrm{QM}$と$\mathrm{OD}$が平行なとき,$3$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$を通る平面$\alpha$で正四角錐$\mathrm{O}$-$\mathrm{ABCD}$を$2$つの多面体に切り分ける.このとき,$\alpha$による切り口の図形の面積,および,切り分けたうち頂点$\mathrm{O}$を含む多面体の体積を求めよ.
(1) 内積$\overrightarrow{\mathrm{PQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{QR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PR}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を計算せよ.答が$r$の有理式になる場合は,$1$つの既約分数式で解答せよ.
(2) 線分$\mathrm{PR}$の中点を$\mathrm{M}$とする.$\mathrm{QM}$と$\mathrm{OD}$が平行になる$r$を求めよ.
(3) $\mathrm{QM}$と$\mathrm{OD}$が平行なとき,$3$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$を通る平面$\alpha$で正四角錐$\mathrm{O}$-$\mathrm{ABCD}$を$2$つの多面体に切り分ける.このとき,$\alpha$による切り口の図形の面積,および,切り分けたうち頂点$\mathrm{O}$を含む多面体の体積を求めよ.
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