慶應義塾大学
2014年 理工学部 第3問
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$a_1=0$,$a_{n+1}=\log (a_n+e) \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定まる数列$\{a_n\}$の収束について調べたい.以下の問いに答えなさい.
(1) 方程式$x=\log (x+e)$は$x>0$の範囲でただ$1$つの実数解$\beta$をもつことを証明しなさい.
(2) すべての自然数$n$について$0 \leqq a_n<\beta$が成り立つことを証明しなさい.
(3) $0<a<b$のとき$\displaystyle \log b-\log a<\frac{b-a}{a}$が成り立つことを証明しなさい.
(4) すべての自然数$n$について$\displaystyle \beta-a_{n+1}<\frac{1}{e}(\beta-a_n)$が成り立つことを証明し,これを用いて$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\beta$を示しなさい.
(1) 方程式$x=\log (x+e)$は$x>0$の範囲でただ$1$つの実数解$\beta$をもつことを証明しなさい.
(2) すべての自然数$n$について$0 \leqq a_n<\beta$が成り立つことを証明しなさい.
(3) $0<a<b$のとき$\displaystyle \log b-\log a<\frac{b-a}{a}$が成り立つことを証明しなさい.
(4) すべての自然数$n$について$\displaystyle \beta-a_{n+1}<\frac{1}{e}(\beta-a_n)$が成り立つことを証明し,これを用いて$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\beta$を示しなさい.
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