岩手大学
2011年 理工学部 第2問
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![座標空間内で4点O(0,0,0), A (1,0,0), B (0,1,0), C (0,0,1)を頂点とする四面体OABCを考える.線分ABをm:(1-m)に内分する点をP,線分OPをs:(1-s)に内分する点をQ,線分CPをu:(1-u)に内分する点をRとする.また,線分ABの中点をHとし,点Rを通り線分OPに垂直に交わる直線と線分OPとの交点をIとする.∠ OQC と∠ IQR が等しいとき,次の問いに答えよ.(1)点Rの座標をm,uを用いて表せ.(2)sをuを用いて表せ.(3)ベクトルHR=a\frac{ベクトルAB}{|ベクトルAB|}+b\frac{ベクトルHC}{|ベクトルHC|}と表すとき,このa,bを用いてs,mを表せ.](./thumb/47/2079/2011_2.png)
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座標空間内で4点O$(0,\ 0,\ 0),\ \text{A}(1,\ 0,\ 0),\ \text{B}(0,\ 1,\ 0),\ \text{C}(0,\ 0,\ 1)$を頂点とする四面体OABCを考える.線分ABを$m:(1-m)$に内分する点をP,線分OPを$s:(1-s)$に内分する点をQ,線分CPを$u:(1-u)$に内分する点をRとする.また,線分ABの中点をHとし,点Rを通り線分OPに垂直に交わる直線と線分OPとの交点をIとする.$\angle \text{OQC}$と$\angle \text{IQR}$が等しいとき,次の問いに答えよ.
(1) 点Rの座標を$m,\ u$を用いて表せ.
(2) $s$を$u$を用いて表せ.
(3) $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{HR}}=a\frac{\overrightarrow{\mathrm{AB}}}{|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|}+b \frac{\overrightarrow{\mathrm{HC}}}{|\overrightarrow{\mathrm{HC}}|}$と表すとき,この$a,\ b$を用いて$s,\ m$を表せ.
(1) 点Rの座標を$m,\ u$を用いて表せ.
(2) $s$を$u$を用いて表せ.
(3) $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{HR}}=a\frac{\overrightarrow{\mathrm{AB}}}{|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|}+b \frac{\overrightarrow{\mathrm{HC}}}{|\overrightarrow{\mathrm{HC}}|}$と表すとき,この$a,\ b$を用いて$s,\ m$を表せ.
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