獨協医科大学
2010年 医学部 第4問
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原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の動点$\mathrm{P}$の位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(x,\ y)$が,時刻$t$の関数として,$x=e^{-2t} \cos 2\pi t$,$y=e^{-2t} \sin 2\pi t$で表されている.
(1) 点$\mathrm{P}$の速度ベクトル$\displaystyle \overrightarrow{v}=\left( \frac{dx}{dt},\ \frac{dy}{dt} \right)$の大きさは,$|\overrightarrow{v}|=\fbox{} \sqrt{\fbox{}+\pi^2}e^{-2t}$である.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{v}$のなす角を$\alpha$とするとき,$\displaystyle \cos \alpha=\frac{\fbox{}}{\sqrt{\fbox{}+\pi^2}}$であり,これは時刻$t$によらない一定値である.
(3) $n$を自然数として,$t=n-1$から$t=n$までの間に点$\mathrm{P}$が動く道のり$S_n$は, \[ S_n=\sqrt{\fbox{}+\pi^2} \left( e^{\fbox{}}-\fbox{} \right) e^{-2n} \] である.また,$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}S_n=\sqrt{\fbox{}+\pi^2}$である.
(4) $t=0$から$\displaystyle t=\frac{1}{4}$までの間に点$\mathrm{P}$がえがく曲線と,$x$軸,$y$軸とで囲まれる図形の面積$I$は,$\displaystyle I=\int_a^b y \, dx=\int_{\frac{1}{4}}^0 y \frac{dx}{dt} \, dt$で求められる.このとき$a=\fbox{}$,$b=\fbox{}$で,$\displaystyle I=\int_0^{\frac{1}{4}} e^{-4t} \{ \sin \fbox{$\ast$} \pi t+\pi (1-\cos \fbox{$\ast$} \pi t) \} \, dt$である.
(1) 点$\mathrm{P}$の速度ベクトル$\displaystyle \overrightarrow{v}=\left( \frac{dx}{dt},\ \frac{dy}{dt} \right)$の大きさは,$|\overrightarrow{v}|=\fbox{} \sqrt{\fbox{}+\pi^2}e^{-2t}$である.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{v}$のなす角を$\alpha$とするとき,$\displaystyle \cos \alpha=\frac{\fbox{}}{\sqrt{\fbox{}+\pi^2}}$であり,これは時刻$t$によらない一定値である.
(3) $n$を自然数として,$t=n-1$から$t=n$までの間に点$\mathrm{P}$が動く道のり$S_n$は, \[ S_n=\sqrt{\fbox{}+\pi^2} \left( e^{\fbox{}}-\fbox{} \right) e^{-2n} \] である.また,$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}S_n=\sqrt{\fbox{}+\pi^2}$である.
(4) $t=0$から$\displaystyle t=\frac{1}{4}$までの間に点$\mathrm{P}$がえがく曲線と,$x$軸,$y$軸とで囲まれる図形の面積$I$は,$\displaystyle I=\int_a^b y \, dx=\int_{\frac{1}{4}}^0 y \frac{dx}{dt} \, dt$で求められる.このとき$a=\fbox{}$,$b=\fbox{}$で,$\displaystyle I=\int_0^{\frac{1}{4}} e^{-4t} \{ \sin \fbox{$\ast$} \pi t+\pi (1-\cos \fbox{$\ast$} \pi t) \} \, dt$である.
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