獨協大学
2012年 文系 第1問
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![次の設問の空欄を,あてはまる数値や記号,式などで埋めなさい.(1){(2x+3y)}^3+{(2x-3y)}^3を展開すると[1]になる.(2)-1<a<0<b<cとするとき,-a/c,a/c,1/ac,-1/ab,-1/acの5つの数のうち,小さい方から2番目の数は[2]であり4番目の数は[3]である.(3)π/2≦θ<\frac{3π}{2}のときに2sin^3θ-sinθ=0の解をすべて記すと[4]である.(4)a,bを定数とするxに関する3次方程式2x^3+ax^2+bx-10=0の2つの解がx=1,2であるとき,a=[5],b=[6]であり,もう1つの解は[7]である.(5)P,E,N,C,I,Lの文字が1つずつ刻まれているタイルが6枚ある.これらを横1列に並べるとき,PがEより左で,かつ,NがEより右となる確率は[8]である.\monaを定数とする方程式x^3-6x^2-a=0の異なる実数解は,aの値が[9]の場合には3個,[10]または[11]の場合には2個,[12]または[13]の場合には1個,それぞれ存在する.\monαを実数として,空間における原点Oと2点A(-1,α,α),B(1,2,α)を考える.ベクトルOAとベクトルOBの内積ベクトルOA・ベクトルOBを最小にするαの値は[14]であり,このとき,三角形OABの面積は[15]である.\mon点Oを中心とする半径1の円の円周上に点Aをとり,点Aにおける接線上にAB=2となる点Bをとる.次に,点BからBC=2となるように円周上に点Aとは異なる点Cをとる.このとき,三角形OACの面積は[16]であり,sin∠CAB=[17]である.(プレビューでは図は省略します)](./thumb/135/2241/2012_1.png)
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次の設問の空欄を,あてはまる数値や記号,式などで埋めなさい.
(1) ${(2x+3y)}^3+{(2x-3y)}^3$を展開すると$\fbox{$1$}$になる.
(2) $-1<a<0<b<c$とするとき, \[ -\frac{a}{c},\ \frac{a}{c},\ \frac{1}{ac},\ -\frac{1}{ab},\ -\frac{1}{ac} \] の$5$つの数のうち,小さい方から$2$番目の数は$\fbox{$2$}$であり$4$番目の数は$\fbox{$3$}$である.
(3) $\displaystyle \frac{\pi}{2} \leqq \theta<\frac{3\pi}{2}$のときに \[ 2 \sin^3 \theta-\sin \theta=0 \] の解をすべて記すと$\fbox{$4$}$である.
(4) $a,\ b$を定数とする$x$に関する$3$次方程式 \[ 2x^3+ax^2+bx-10=0 \] の$2$つの解が$x=1,\ 2$であるとき,$a=\fbox{$5$}$,$b=\fbox{$6$}$であり,もう$1$つの解は$\fbox{$7$}$である.
(5) $\mathrm{P}$,$\mathrm{E}$,$\mathrm{N}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{I}$,$\mathrm{L}$の文字が$1$つずつ刻まれているタイルが$6$枚ある.これらを横$1$列に並べるとき,$\mathrm{P}$が$\mathrm{E}$より左で,かつ,$\mathrm{N}$が$\mathrm{E}$より右となる確率は$\fbox{$8$}$である. $a$を定数とする方程式$x^3-6x^2-a=0$の異なる実数解は,$a$の値が$\fbox{$9$}$の場合には$3$個,$\fbox{$10$}$または$\fbox{$11$}$の場合には$2$個,$\fbox{$12$}$または$\fbox{$13$}$の場合には$1$個,それぞれ存在する. $\alpha$を実数として,空間における原点$\mathrm{O}$と$2$点$\mathrm{A}(-1,\ \alpha,\ \alpha)$,$\mathrm{B}(1,\ 2,\ \alpha)$を考える.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を最小にする$\alpha$の値は$\fbox{$14$}$であり,このとき,三角形$\mathrm{OAB}$の面積は$\fbox{$15$}$である. 点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円の円周上に点$\mathrm{A}$をとり,点$\mathrm{A}$における接線上に$\mathrm{AB}=2$となる点$\mathrm{B}$をとる.次に,点$\mathrm{B}$から$\mathrm{BC}=2$となるように円周上に点$\mathrm{A}$とは異なる点$\mathrm{C}$をとる.このとき,三角形$\mathrm{OAC}$の面積は$\fbox{$16$}$であり,$\sin \angle \mathrm{CAB}=\fbox{$17$}$である. \imgc{135_2241_2012_1}
(1) ${(2x+3y)}^3+{(2x-3y)}^3$を展開すると$\fbox{$1$}$になる.
(2) $-1<a<0<b<c$とするとき, \[ -\frac{a}{c},\ \frac{a}{c},\ \frac{1}{ac},\ -\frac{1}{ab},\ -\frac{1}{ac} \] の$5$つの数のうち,小さい方から$2$番目の数は$\fbox{$2$}$であり$4$番目の数は$\fbox{$3$}$である.
(3) $\displaystyle \frac{\pi}{2} \leqq \theta<\frac{3\pi}{2}$のときに \[ 2 \sin^3 \theta-\sin \theta=0 \] の解をすべて記すと$\fbox{$4$}$である.
(4) $a,\ b$を定数とする$x$に関する$3$次方程式 \[ 2x^3+ax^2+bx-10=0 \] の$2$つの解が$x=1,\ 2$であるとき,$a=\fbox{$5$}$,$b=\fbox{$6$}$であり,もう$1$つの解は$\fbox{$7$}$である.
(5) $\mathrm{P}$,$\mathrm{E}$,$\mathrm{N}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{I}$,$\mathrm{L}$の文字が$1$つずつ刻まれているタイルが$6$枚ある.これらを横$1$列に並べるとき,$\mathrm{P}$が$\mathrm{E}$より左で,かつ,$\mathrm{N}$が$\mathrm{E}$より右となる確率は$\fbox{$8$}$である. $a$を定数とする方程式$x^3-6x^2-a=0$の異なる実数解は,$a$の値が$\fbox{$9$}$の場合には$3$個,$\fbox{$10$}$または$\fbox{$11$}$の場合には$2$個,$\fbox{$12$}$または$\fbox{$13$}$の場合には$1$個,それぞれ存在する. $\alpha$を実数として,空間における原点$\mathrm{O}$と$2$点$\mathrm{A}(-1,\ \alpha,\ \alpha)$,$\mathrm{B}(1,\ 2,\ \alpha)$を考える.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を最小にする$\alpha$の値は$\fbox{$14$}$であり,このとき,三角形$\mathrm{OAB}$の面積は$\fbox{$15$}$である. 点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円の円周上に点$\mathrm{A}$をとり,点$\mathrm{A}$における接線上に$\mathrm{AB}=2$となる点$\mathrm{B}$をとる.次に,点$\mathrm{B}$から$\mathrm{BC}=2$となるように円周上に点$\mathrm{A}$とは異なる点$\mathrm{C}$をとる.このとき,三角形$\mathrm{OAC}$の面積は$\fbox{$16$}$であり,$\sin \angle \mathrm{CAB}=\fbox{$17$}$である. \imgc{135_2241_2012_1}
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