電気通信大学
2015年 理系 第4問
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![数列{a_n}は初項がa_1=1,公差が正の定数dの等差数列とする.このとき,自然数の定数pを用いてb_n=a_na_{n+p}(n=1,2,3,・・・)で定まる数列{b_n}について考える.ただし,a_na_{n+p}はa_nとa_{n+p}の積を表す.以下の問いに答えよ.(1)数列{b_n}の階差数列{c_n}が等差数列であることを示せ.さらに,数列{c_n}の初項c_1と公差Dをd,pを用いて表せ.(2)ある定数Cを用いて\frac{1}{b_n}=C(\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_{n+p}})(n=1,2,3,・・・)と表すことができる.このとき,Cをd,pを用いて表せ.以下の問いでは,数列{b_n}が初項から順にb_1=7,b_2=40,b_3=91,・・・となる場合を考える.(3)定数d,pおよび数列{a_n},{b_n}の一般項をそれぞれ求めよ.(4)数列{b_n}に対して,S_n=Σ_{k=1}^n\frac{1}{b_k}(n=1,2,3,・・・)とおく.極限値\lim_{n→∞}S_nを求めよ.](./thumb/178/2358/2015_4.png)
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数列$\{a_n\}$は初項が$a_1=1$,公差が正の定数$d$の等差数列とする.このとき,自然数の定数$p$を用いて
\[ b_n=a_na_{n+p} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定まる数列$\{b_n\}$について考える.ただし,$a_na_{n+p}$は$a_n$と$a_{n+p}$の積を表す.以下の問いに答えよ.
(1) 数列$\{b_n\}$の階差数列$\{c_n\}$が等差数列であることを示せ.さらに,数列$\{c_n\}$の初項$c_1$と公差$D$を$d,\ p$を用いて表せ.
(2) ある定数$C$を用いて \[ \frac{1}{b_n}=C \left( \frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_{n+p}} \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] と表すことができる.このとき,$C$を$d,\ p$を用いて表せ.
以下の問いでは,数列$\{b_n\}$が初項から順に \[ b_1=7,\quad b_2=40,\quad b_3=91,\ \cdots \] となる場合を考える.
(3) 定数$d,\ p$および数列$\{a_n\}$,$\{b_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ.
(4) 数列$\{b_n\}$に対して, \[ S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{b_k} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] とおく.極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ.
(1) 数列$\{b_n\}$の階差数列$\{c_n\}$が等差数列であることを示せ.さらに,数列$\{c_n\}$の初項$c_1$と公差$D$を$d,\ p$を用いて表せ.
(2) ある定数$C$を用いて \[ \frac{1}{b_n}=C \left( \frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_{n+p}} \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] と表すことができる.このとき,$C$を$d,\ p$を用いて表せ.
以下の問いでは,数列$\{b_n\}$が初項から順に \[ b_1=7,\quad b_2=40,\quad b_3=91,\ \cdots \] となる場合を考える.
(3) 定数$d,\ p$および数列$\{a_n\}$,$\{b_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ.
(4) 数列$\{b_n\}$に対して, \[ S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{b_k} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] とおく.極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ.
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