青山学院大学
2011年 理工B方式 第5問
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![曲線y=e^{-x}上の点(1,e^{-1})における接線とx軸の交点を(a_1,0)とする.次に,y=e^{-x}上の点(a_1,e^{-a_1})における接線とx軸の交点を(a_2,0)とする.以下,同様にa_n(n=3,4,5,・・・)を定める.次の問に答えよ.(1)a_1を求めよ.(2)a_nを求めよ.(3)曲線上の点(a_n,e^{-a_n})における接線と,直線x=a_nおよびx軸で囲まれた三角形の面積をS_nとする.Σ_{n=1}^∞S_nを求めよ.](./thumb/189/2276/2011_5.png)
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曲線$y=e^{-x}$上の点$(1,\ e^{-1})$における接線と$x$軸の交点を$(a_1,\ 0)$とする.次に,$y=e^{-x}$上の点$(a_1,\ e^{-a_1})$における接線と$x$軸の交点を$(a_2,\ 0)$とする.以下,同様に$a_n \ \ (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots)$を定める.次の問に答えよ.
(1) $a_1$を求めよ.
(2) $a_n$を求めよ.
(3) 曲線上の点$(a_n,\ e^{-a_n})$における接線と,直線$x=a_n$および$x$軸で囲まれた三角形の面積を$S_n$とする.$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$を求めよ.
(1) $a_1$を求めよ.
(2) $a_n$を求めよ.
(3) 曲線上の点$(a_n,\ e^{-a_n})$における接線と,直線$x=a_n$および$x$軸で囲まれた三角形の面積を$S_n$とする.$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$を求めよ.
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