大阪市立大学
2012年 理系 第4問
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$|a^2 - 2b^2|=1$をみたす整数$a,\ b$によって，$\left( \begin{array}{cc}
a & 2b \\
b & a
\end{array} \right)$と表される2次の正方行列全体の集合を$U$とする．このとき，$U$に属する行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & 2b \\
b & a
\end{array} \right)$に対して，$f(A)=a+\sqrt{2}b$とおく．次の問いに答えよ．
(1) 二つの行列$A$と$B$が$U$に属するならば，積$AB$も$U$に属することを示し，さらに$f(AB)=f(A)f(B)$が成り立つことを示せ．
(2) $U$に属する行列$A=\left( \begin{array}{cc} a & 2b \\ b & a \end{array} \right)$について，$f(A) \geqq 1$ならば，$-1 \leqq a-\sqrt{2}b \leqq 1$が成り立つことを示せ．
(3) $U$に属する行列$A$について，$1 \leqq f(A) < 1+\sqrt{2}$ならば，$A=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$であることを示せ．
(4) $U$に属する行列$A$について，$1+\sqrt{2} \leqq f(A) < (1+\sqrt{2})^2$ならば，$A=\left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} \right)$であることを示せ．
(1) 二つの行列$A$と$B$が$U$に属するならば，積$AB$も$U$に属することを示し，さらに$f(AB)=f(A)f(B)$が成り立つことを示せ．
(2) $U$に属する行列$A=\left( \begin{array}{cc} a & 2b \\ b & a \end{array} \right)$について，$f(A) \geqq 1$ならば，$-1 \leqq a-\sqrt{2}b \leqq 1$が成り立つことを示せ．
(3) $U$に属する行列$A$について，$1 \leqq f(A) < 1+\sqrt{2}$ならば，$A=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$であることを示せ．
(4) $U$に属する行列$A$について，$1+\sqrt{2} \leqq f(A) < (1+\sqrt{2})^2$ならば，$A=\left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} \right)$であることを示せ．
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