$n$を正の整数とし，$m$を$0$以上$10$以下の整数とする．袋$1$から袋$n$まで，外見では区別のつかない袋が$n$袋ある．$k=1,\ 2,\ \cdots,\ n$について，袋$k$の中には，赤球が$k$個，白球が$n-k$個入っているものとする．袋を$1$つ選んだ後，その選んだ袋について次の操作を$10$回繰り返して行うことにする．
（操作） \ \ 袋から球を$1$つ取り出し，色を確認してその袋に戻す．
赤球をちょうど$m$回取り出す確率を$P_{m,n}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1) $P_{m,n}$を求めよ．
(2) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} P_{10,n}$を求めよ．
(3) $m=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ 9$について，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P_{m,n}=\lim_{n \to \infty} P_{m+1,n}$を示せ．