$4$面体$\mathrm{OABC}$は， \[ \begin{array}{lll} \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=9, & \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=3, & \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=14, \phantom{\frac{1}{\fbox{}}} \\ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=1, & \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=3, & \overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=5 \phantom{\frac{\fbox{}}{\fbox{}}} \end{array} \] を満たすものとする．また，直線$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{D}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$が垂直になるようにとり，実数$m$を$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=m \overrightarrow{\mathrm{OA}}+(1-m) \overrightarrow{\mathrm{OB}}$となるように定める．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおくとき，次の問いに答えよ．
(1) $m$の値を求めよ．
(2) $m<s<1$を満たす実数$s$に対し，辺$\mathrm{AB}$を$(1-s):s$に内分する点$\mathrm{P}$をとる．さらに，直線$\mathrm{AC}$上の点$\mathrm{Q}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$が垂直になるようにとり，実数$t$を$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=t \overrightarrow{a}+(1-t) \overrightarrow{c}$となるように定める．$t$を$s$を用いて表せ．
(3) $(2)$の$t$に対し，$0<t<1$が成り立つことを示せ．