関数$f(x),\ g(x)$を$f(x)=e^{-x}\sin x$，$g(x)=e^{-x}\cos x$とおく．$f(x),\ g(x)$の不定積分を$\displaystyle I=\int f(x) \, dx$，$\displaystyle J=\int g(x) \, dx$とおく．$k$を自然数とし，$(k-1) \pi \leqq x \leqq k\pi$において，$2$つの曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$，および$2$直線$x=(k-1) \pi$，$x=k\pi$で囲まれる$2$つの部分の面積の和を$S_k$とおく．次の問いに答えよ．
(1) $I=J+F(x)+C_1$，$J=-I+G(x)+C_2$を満たす関数$F(x)$，$G(x)$を求めよ．ただし，$C_1$，$C_2$は積分定数である．
(2) $I,\ J$を求めよ．
(3) $S_k$を求めよ．
(4) $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty S_k$を求めよ．