座標空間内に$4$点$\mathrm{A}(0,\ -1,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ t,\ 1-t)$，$\mathrm{C}(0,\ s,\ -1)$，$\mathrm{D}(3,\ 2,\ 1)$がある．ただし，$t$と$s$は実数で$t>-1$をみたし，また$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$は垂直であるとする．次の問いに答えよ．
(1) $s$を$t$を用いて表せ．
(2) $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の両方に垂直で大きさが$1$のベクトル$\overrightarrow{n}=(p,\ q,\ r)$のうち$p>0$となるものを$t$を用いて表せ．
(3) $4$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$が同一平面に含まれるための必要十分条件は，$\displaystyle t=-\frac{1}{3}$または$t=1$であることを証明せよ．