$\mathrm{OA}=4$，$\mathrm{OB}=5$である三角形$\mathrm{OAB}$に対し，$k=\mathrm{AB}$，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおく．次の問いに答えよ．
(1) 内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$の値を$k$を用いて表せ．
(2) $\angle \mathrm{AOB}$の二等分線と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{P}$，$\angle \mathrm{OAB}$の二等分線と辺$\mathrm{OB}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$k$，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3) 三角形$\mathrm{OAB}$の内心を$\mathrm{I}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OI}}$を$k$，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(4) (3)の$\mathrm{I}$と直線$\mathrm{OA}$上の点$\mathrm{H}$に対して，$\mathrm{IH} \perp \mathrm{OA}$が成り立つとき，$\overrightarrow{\mathrm{IH}}$を$k$，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．