大阪市立大学
2013年 理系 第1問
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$p,\ q$は実数で，$p \neq 0$を満たすものとする．
\[ A=\left( \begin{array}{rr}
p & p-1 \\
-p & 1-p
\end{array} \right),\quad B=\left( \begin{array}{cc}
1-p & 1-p \\
p & p
\end{array} \right),\quad C=\left( \begin{array}{cc}
q & q \\
p & p
\end{array} \right) \]
とおく．次の問いに答えよ．
(1) $A^2=A,\ B^2=B$が成り立つことを示せ．
(2) $AC=CA$であるための必要十分条件は，$q=1-p$，すなわち$C=B$であることを示せ．
(3) $x,\ y$を実数，$n$を自然数とするとき，$(xA+yB)^n=x^nA+y^nB$が成り立つことを示せ．
(1) $A^2=A,\ B^2=B$が成り立つことを示せ．
(2) $AC=CA$であるための必要十分条件は，$q=1-p$，すなわち$C=B$であることを示せ．
(3) $x,\ y$を実数，$n$を自然数とするとき，$(xA+yB)^n=x^nA+y^nB$が成り立つことを示せ．
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