京都工芸繊維大学
2013年 工芸科学 第1問
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一辺の長さが$1$の正十角形$D$が平面上にある.$D$の外接円を$C$とおき,$C$の中心を$\mathrm{O}$,$C$の半径を$R$とおく.$D$の頂点$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$,$\cdots$,$\mathrm{P}_{10}$は$C$上でこの順に反時計回りに並んでいるとする.点$\mathrm{P}_2$,$\mathrm{P}_3$から直線$\mathrm{OP}_1$へ下ろした垂線をそれぞれ$\mathrm{P}_2 \mathrm{H}_2$,$\mathrm{P}_3 \mathrm{H}_3$とする.
(1) $\displaystyle R=\frac{1}{2 \sin \theta_1}$を満たす$\theta_1 \ (0^\circ<\theta_1<90^\circ)$を求めよ.
(2) $\mathrm{P}_1 \mathrm{H}_2=\sin \theta_2$,$\mathrm{H}_2 \mathrm{H}_3=\cos \theta_3$を満たす$\theta_2,\ \theta_3 \ (0^\circ<\theta_2<90^\circ,\ 0^\circ<\theta_3<90^\circ)$を求めよ.
(3) 等式$\mathrm{P}_1 \mathrm{H}_2+\mathrm{H}_2 \mathrm{H}_3+\mathrm{H}_3 \mathrm{O}=R$を用いて,$\sin 18^\circ$の値を求めよ.
(4) $D$の面積を$S$とするとき,$S^2$の値を求めよ.
(1) $\displaystyle R=\frac{1}{2 \sin \theta_1}$を満たす$\theta_1 \ (0^\circ<\theta_1<90^\circ)$を求めよ.
(2) $\mathrm{P}_1 \mathrm{H}_2=\sin \theta_2$,$\mathrm{H}_2 \mathrm{H}_3=\cos \theta_3$を満たす$\theta_2,\ \theta_3 \ (0^\circ<\theta_2<90^\circ,\ 0^\circ<\theta_3<90^\circ)$を求めよ.
(3) 等式$\mathrm{P}_1 \mathrm{H}_2+\mathrm{H}_2 \mathrm{H}_3+\mathrm{H}_3 \mathrm{O}=R$を用いて,$\sin 18^\circ$の値を求めよ.
(4) $D$の面積を$S$とするとき,$S^2$の値を求めよ.
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