広島市立大学
2016年 理系 第4問
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![三角形ABCにおいて,ベクトルAB=ベクトルb,ベクトルAC=ベクトルcとおき,三角形ABCの内部に点PをベクトルAP=1/4ベクトルb+1/2ベクトルcを満たすようにとる.また,直線APと直線BCの交点をD,直線BPと直線ACの交点をE,直線CPと直線ABの交点をFとする.このとき,以下の問いに答えよ.(1)ベクトルADをベクトルb,ベクトルcを用いて表せ.(2)線分の長さの比AF:FB,AE:ECをそれぞれ求めよ.(3)次の問いに答えよ.(i)点Pが三角形ABCの垂心であるとする.すなわち,ベクトルAB⊥ベクトルCFかつベクトルAC⊥ベクトルBEが成り立っている.このとき,|ベクトルb|:|ベクトルc|およびcos∠BACの値を求めよ.(ii)点Pが三角形ABCの外心になることがあるかどうかを調べよ.](./thumb/632/2825/2016_4.png)
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三角形$\mathrm{ABC}$において,$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおき,三角形$\mathrm{ABC}$の内部に点$\mathrm{P}$を$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{1}{4} \overrightarrow{b}+\frac{1}{2} \overrightarrow{c}$を満たすようにとる.また,直線$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$,直線$\mathrm{BP}$と直線$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{E}$,直線$\mathrm{CP}$と直線$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{F}$とする.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(2) 線分の長さの比$\mathrm{AF}:\mathrm{FB}$,$\mathrm{AE}:\mathrm{EC}$をそれぞれ求めよ.
(3) 次の問いに答えよ.
(ⅰ) 点$\mathrm{P}$が三角形$\mathrm{ABC}$の垂心であるとする.すなわち,$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \perp \overrightarrow{\mathrm{CF}}$かつ$\overrightarrow{\mathrm{AC}} \perp \overrightarrow{\mathrm{BE}}$が成り立っている.このとき,$|\overrightarrow{b|}:|\overrightarrow{c|}$および$\cos \angle \mathrm{BAC}$の値を求めよ.
(ⅱ) 点$\mathrm{P}$が三角形$\mathrm{ABC}$の外心になることがあるかどうかを調べよ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(2) 線分の長さの比$\mathrm{AF}:\mathrm{FB}$,$\mathrm{AE}:\mathrm{EC}$をそれぞれ求めよ.
(3) 次の問いに答えよ.
(ⅰ) 点$\mathrm{P}$が三角形$\mathrm{ABC}$の垂心であるとする.すなわち,$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \perp \overrightarrow{\mathrm{CF}}$かつ$\overrightarrow{\mathrm{AC}} \perp \overrightarrow{\mathrm{BE}}$が成り立っている.このとき,$|\overrightarrow{b|}:|\overrightarrow{c|}$および$\cos \angle \mathrm{BAC}$の値を求めよ.
(ⅱ) 点$\mathrm{P}$が三角形$\mathrm{ABC}$の外心になることがあるかどうかを調べよ.
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