同志社大学
2014年 理工学部 第2問
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![座標空間において原点O(0,0,0)と,3点A(a,a,b),B(a,b,a),C(b,a,a)(b>a≧0)を頂点とする四面体OABCを考える.次の問いに答えよ.(1)△ABCの面積Sを求めよ.(2)四面体OABCの体積Vを求めよ.(3)四面体OABCが正四面体となる条件を,aとbを用いて表せ.(4)a,bがともに自然数のとき,(3)の条件を満たすbの最小値と,そのときのaの値をそれぞれ求めよ.また,そのときのSとVを求めよ.](./thumb/496/2932/2014_2.png)
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座標空間において原点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$と,$3$点$\mathrm{A}(a,\ a,\ b)$,$\mathrm{B}(a,\ b,\ a)$,$\mathrm{C}(b,\ a,\ a)$ \ \ $(b>a \geqq 0)$を頂点とする四面体$\mathrm{OABC}$を考える.次の問いに答えよ.
(1) $\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ.
(2) 四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を求めよ.
(3) 四面体$\mathrm{OABC}$が正四面体となる条件を,$a$と$b$を用いて表せ.
(4) $a,\ b$がともに自然数のとき,$(3)$の条件を満たす$b$の最小値と,そのときの$a$の値をそれぞれ求めよ.また,そのときの$S$と$V$を求めよ.
(1) $\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ.
(2) 四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を求めよ.
(3) 四面体$\mathrm{OABC}$が正四面体となる条件を,$a$と$b$を用いて表せ.
(4) $a,\ b$がともに自然数のとき,$(3)$の条件を満たす$b$の最小値と,そのときの$a$の値をそれぞれ求めよ.また,そのときの$S$と$V$を求めよ.
類題(関連度順)
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コメント(2件)
![]() 作りました。(1)~(3)までは自然な流れの誘導です。(4)は座標空間において格子点(座標がすべて整数の点)のみを頂点にもつような正四面体は存在するか?という疑問から作られた問題なのかもしれません。ちなみに座標平面において有理点(座標がともに有理数の点)のみを頂点にもつ正三角形は存在しません(1999年 大阪大学)。 |
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