同志社大学
2016年 理系全学部日程 第4問
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$n$を自然数,$k$を$0$以上の整数とする.また,$f(x)=|x \sin (nx)|$,$\displaystyle x_k=\frac{k \pi}{n}$,$\displaystyle \alpha_k=\frac{x_k+x_{k+1}}{2}$とする.次の問いに答えよ.
(1) $\displaystyle T_k=\int_{x_k}^{\alpha_k} f(x) \, dx$とする.$T_k$を$n,\ k$を用いて表し,極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n T_k$を求めよ.
(2) $x_k \leqq x \leqq x_{k+1}$の範囲で,関数$f(x)$が最大値をとるときの$x$の値を$\beta_k$とする.$\displaystyle U_k=\int_{x_k}^{\beta_k} f(x) \, dx$とおくと,ある定数$b$を用いて$\displaystyle U_k=\frac{k \pi+b |\sin (n \beta_k)|}{n^2}$と表される.定数$b$の値を求めよ.また,極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n U_k$を求めよ.
(3) $x_k \leqq x \leqq \alpha_k$の範囲で,関数$g(x)=|x \cos (nx)|$が最大値をとるときの$x$の値を$\gamma_k$とする.この$\gamma_k$と$(2)$の$\beta_k$に対して,$\displaystyle V_k=\int_{\gamma_k}^{\beta_k} f(x) \, dx$とおく.極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n V_k$を求めよ.
(1) $\displaystyle T_k=\int_{x_k}^{\alpha_k} f(x) \, dx$とする.$T_k$を$n,\ k$を用いて表し,極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n T_k$を求めよ.
(2) $x_k \leqq x \leqq x_{k+1}$の範囲で,関数$f(x)$が最大値をとるときの$x$の値を$\beta_k$とする.$\displaystyle U_k=\int_{x_k}^{\beta_k} f(x) \, dx$とおくと,ある定数$b$を用いて$\displaystyle U_k=\frac{k \pi+b |\sin (n \beta_k)|}{n^2}$と表される.定数$b$の値を求めよ.また,極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n U_k$を求めよ.
(3) $x_k \leqq x \leqq \alpha_k$の範囲で,関数$g(x)=|x \cos (nx)|$が最大値をとるときの$x$の値を$\gamma_k$とする.この$\gamma_k$と$(2)$の$\beta_k$に対して,$\displaystyle V_k=\int_{\gamma_k}^{\beta_k} f(x) \, dx$とおく.極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n V_k$を求めよ.
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