山梨大学
2010年 教育人間科学・生命環境(生命工以外) 第3問
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$2$次正方行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$が,$A^2=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$,$A \neq \left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$,$A \neq -\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$を満たす.
(1) $a+d=0,\ ad-bc=-1$が成り立つことを示せ.
(2) $x^2+y^2 \neq 0,\ s^2+t^2 \neq 0,\ A \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right),\ A \left( \begin{array}{c} s \\ t \end{array} \right)=-\left( \begin{array}{c} s \\ t \end{array} \right)$を満たす実数$x,\ y,\ s,\ t$があることを示せ.
(3) さらに,$b=c$ならば,(2)の$x,\ y,\ s,\ t$は$xs+yt=0$を満たすことを示せ.
(1) $a+d=0,\ ad-bc=-1$が成り立つことを示せ.
(2) $x^2+y^2 \neq 0,\ s^2+t^2 \neq 0,\ A \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right),\ A \left( \begin{array}{c} s \\ t \end{array} \right)=-\left( \begin{array}{c} s \\ t \end{array} \right)$を満たす実数$x,\ y,\ s,\ t$があることを示せ.
(3) さらに,$b=c$ならば,(2)の$x,\ y,\ s,\ t$は$xs+yt=0$を満たすことを示せ.
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