玉川大学
2016年 全学部 第4問
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曲線$C:y=x^3-12x$とその上の点$\mathrm{A}(1,\ -11)$がある.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 点$\mathrm{A}$を通る曲線$C$の接線$2$本を求めよ.
(2) 曲線$y=x^3+px^2+qx+r$と直線$y=mx+n$が異なる$3$点で交わるとき,その交点の$x$座標を左から$a,\ b,\ c$とする.曲線と直線の囲む部分の左側,右側の面積をそれぞれ$S$,$S^\prime$とするとき, \[ S-S^\prime=\frac{1}{6}(c-a)^3 \left( b-\frac{a+c}{2} \right) \] を示せ.
(3) 点$\mathrm{A}$を通り,$(1)$で求めた$2$直線の傾きの間の値を傾きとしてもつ直線$\ell$と曲線$C$の囲む$2$つの部分の面積が等しい.このとき,直線$\ell$を求めよ.ここで,$(2)$から$\displaystyle b=\frac{a+c}{2}$のとき,$S=S^\prime$となることに注意せよ.
(1) 点$\mathrm{A}$を通る曲線$C$の接線$2$本を求めよ.
(2) 曲線$y=x^3+px^2+qx+r$と直線$y=mx+n$が異なる$3$点で交わるとき,その交点の$x$座標を左から$a,\ b,\ c$とする.曲線と直線の囲む部分の左側,右側の面積をそれぞれ$S$,$S^\prime$とするとき, \[ S-S^\prime=\frac{1}{6}(c-a)^3 \left( b-\frac{a+c}{2} \right) \] を示せ.
(3) 点$\mathrm{A}$を通り,$(1)$で求めた$2$直線の傾きの間の値を傾きとしてもつ直線$\ell$と曲線$C$の囲む$2$つの部分の面積が等しい.このとき,直線$\ell$を求めよ.ここで,$(2)$から$\displaystyle b=\frac{a+c}{2}$のとき,$S=S^\prime$となることに注意せよ.
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