千葉工業大学
2015年 工・情報科学・社シス科学 第4問
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$xy$平面において,放物線$C:y=9x^2$を$x$軸方向に$t$(ただし,$t>0$),$y$軸方向に$8$だけ平行移動して得られる放物線を$D$とする.また,$C$上の点$(p,\ 9p^2)$における$C$の接線を$\ell$とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) $D$の方程式は$y=9x^2-\fbox{アイ}tx+\fbox{ウ}t^2+\fbox{エ}$である.
(2) $\ell$の方程式は$y=\fbox{オカ}px-\fbox{キ}p^2$である.
以下,$\ell$は$D$にも接しているとする.
(3) $p$を$t$を用いて表すと,$\displaystyle p=\frac{\fbox{ク}}{\fbox{ケ}t}$である.また,$\ell$と$D$の接点の$x$座標$X$を$t$を用いて表すと \[ X=t+\frac{\fbox{コ}}{\fbox{サ}t} \] である.
(4) $X$は$\displaystyle t=\frac{\fbox{シ}}{\fbox{ス}}$のとき,最小値$\displaystyle \frac{\fbox{セ}}{\fbox{ソ}}$をとる.このとき,$C$と$D$と$\ell$で囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{\fbox{タ}}{\fbox{チ}}$である.
(1) $D$の方程式は$y=9x^2-\fbox{アイ}tx+\fbox{ウ}t^2+\fbox{エ}$である.
(2) $\ell$の方程式は$y=\fbox{オカ}px-\fbox{キ}p^2$である.
以下,$\ell$は$D$にも接しているとする.
(3) $p$を$t$を用いて表すと,$\displaystyle p=\frac{\fbox{ク}}{\fbox{ケ}t}$である.また,$\ell$と$D$の接点の$x$座標$X$を$t$を用いて表すと \[ X=t+\frac{\fbox{コ}}{\fbox{サ}t} \] である.
(4) $X$は$\displaystyle t=\frac{\fbox{シ}}{\fbox{ス}}$のとき,最小値$\displaystyle \frac{\fbox{セ}}{\fbox{ソ}}$をとる.このとき,$C$と$D$と$\ell$で囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{\fbox{タ}}{\fbox{チ}}$である.
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