千葉大学
2015年 教育(数学) 第6問
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![bとcをb^2+4c>0を満たす実数として,xに関する2次方程式x^2-bx-c=0の相異なる解をα,βとする.数列{a_n}をa_n=α^{n-1}+β^{n-1}(n=1,2,3,・・・)により定める.このとき,つぎの問いに答えよ.(1)数列{a_n}は漸化式a_{n+2}=ba_{n+1}+ca_n(n=1,2,3,・・・)を満たすことを示せ.(2)数列{a_n}の項a_nがすべて整数であるための必要十分条件は,b,cがともに整数であることである.これを証明せよ.](./thumb/146/3175/2015_6.png)
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$b$と$c$を$b^2+4c>0$を満たす実数として,$x$に関する$2$次方程式$x^2-bx-c=0$の相異なる解を$\alpha,\ \beta$とする.数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\alpha^{n-1}+\beta^{n-1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定める.このとき,つぎの問いに答えよ.
(1) 数列$\{a_n\}$は漸化式 \[ a_{n+2}=ba_{n+1}+ca_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] を満たすことを示せ.
(2) 数列$\{a_n\}$の項$a_n$がすべて整数であるための必要十分条件は,$b,\ c$がともに整数であることである.これを証明せよ.
(1) 数列$\{a_n\}$は漸化式 \[ a_{n+2}=ba_{n+1}+ca_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] を満たすことを示せ.
(2) 数列$\{a_n\}$の項$a_n$がすべて整数であるための必要十分条件は,$b,\ c$がともに整数であることである.これを証明せよ.
類題(関連度順)
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