鹿児島大学
2012年 医(医)・理(数理・物理・地環)・工・歯 第6問
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極方程式$\displaystyle r=\frac{a}{2+\cos \theta}$で与えられる2次曲線がある.ただし,$a$は正の定数とする.このとき次の各問いに答えよ.
(1) この2次曲線を直交座標$(x,\ y)$に関する方程式で表せ.
(2) (1)で求めた2次曲線を$x$軸方向に$\displaystyle \frac{a}{3}$だけ平行移動した2次曲線を$C$で表す.$C$を直交座標$x,\ y$の方程式で表せ.また,この2次曲線$C$は$x$軸と2点AとBで交わる.この2点A,Bの座標を求めよ.ただし,Bの$x$座標は正とする.
(3) (2)で求めた2次曲線$C$上の$x$軸上にない点P$(\alpha,\ \beta)$から$x$軸に下ろした垂線をPHとする.さらにPと$x$軸に関して対称な点をQとするとき,次の値は定数であることを証明せよ. \[ \frac{\text{PH} \cdot \text{QH}}{\text{AH} \cdot \text{BH}} \]
(1) この2次曲線を直交座標$(x,\ y)$に関する方程式で表せ.
(2) (1)で求めた2次曲線を$x$軸方向に$\displaystyle \frac{a}{3}$だけ平行移動した2次曲線を$C$で表す.$C$を直交座標$x,\ y$の方程式で表せ.また,この2次曲線$C$は$x$軸と2点AとBで交わる.この2点A,Bの座標を求めよ.ただし,Bの$x$座標は正とする.
(3) (2)で求めた2次曲線$C$上の$x$軸上にない点P$(\alpha,\ \beta)$から$x$軸に下ろした垂線をPHとする.さらにPと$x$軸に関して対称な点をQとするとき,次の値は定数であることを証明せよ. \[ \frac{\text{PH} \cdot \text{QH}}{\text{AH} \cdot \text{BH}} \]
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