秋田大学
2014年 国際資源学部 第3問
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原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$上の点を$\mathrm{P}$とし,線分$\mathrm{OP}$と$x$軸の正の向きとのなす角を$\theta$とする.ただし,$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする.また,$C$上の点$\mathrm{Q}$を,線分$\mathrm{OQ}$と$x$軸の正の向きとのなす角が$\displaystyle \frac{\theta}{2}$となる点とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 直線$\mathrm{OQ}$と直線$x=1$との交点を$(1,\ t)$とするとき,$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ.
(2) $\mathrm{P}$から$x$軸におろした垂線の交点を$\mathrm{H}$とする.$\triangle \mathrm{OPH}$の三辺の長さの和を$\theta$で表す関数を$r(\theta)$とするとき,関数$\displaystyle y=\frac{1}{r(\theta)}$のグラフをかけ.ただし,横軸に$\theta$,縦軸に$y$をとるものとする.
(3) 定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{r(\theta)} \, d\theta$を求めよ.
(1) 直線$\mathrm{OQ}$と直線$x=1$との交点を$(1,\ t)$とするとき,$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ.
(2) $\mathrm{P}$から$x$軸におろした垂線の交点を$\mathrm{H}$とする.$\triangle \mathrm{OPH}$の三辺の長さの和を$\theta$で表す関数を$r(\theta)$とするとき,関数$\displaystyle y=\frac{1}{r(\theta)}$のグラフをかけ.ただし,横軸に$\theta$,縦軸に$y$をとるものとする.
(3) 定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{r(\theta)} \, d\theta$を求めよ.
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