愛媛大学
2014年 医学部 第4問
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$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$,$O=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right)$とし,$t$は実数とする.$A$は,$A^3=E$を満たす$2$次の正方行列とする.
(1) $(A-tE)(A^2+tA+t^2E)$を$t$と$E$を用いて表せ.
(2) $t \neq 1$のとき$A-tE$は逆行列をもつことを示せ.
(3) 次の$3$つの命題を証明せよ.
(ⅰ) $A=E$ならば,$A^2+A+E \neq O$である.
(ⅱ) $A^2+A+E \neq O$ならば,$A-E$は逆行列をもたない.
(ⅲ) $A-E$が逆行列をもたないならば,$A=E$である.
(1) $(A-tE)(A^2+tA+t^2E)$を$t$と$E$を用いて表せ.
(2) $t \neq 1$のとき$A-tE$は逆行列をもつことを示せ.
(3) 次の$3$つの命題を証明せよ.
(ⅰ) $A=E$ならば,$A^2+A+E \neq O$である.
(ⅱ) $A^2+A+E \neq O$ならば,$A-E$は逆行列をもたない.
(ⅲ) $A-E$が逆行列をもたないならば,$A=E$である.
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